P3811 【模板】乘法逆元

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線性求逆元

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逆元定義：若$a*x\equiv1 (\bmod )$，且$a$與$b$互質(zhì)，那么我們就能定義: $x$為$a$的逆元，記為$a^{-1}$，所以我們也可以稱$x$為$a$的倒數(shù)，

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所以對(duì)于$\frac{a} (\bmod {p})$ ，我們就可以求出$b$在$\bmod {p}$下的逆元，然后乘上$a$，再$\bmod {p}$，就是這個(gè)乘法逆元的值了。

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一、exgcd求逆元(O(l$og_n$))

這個(gè)就是利用拓歐求解線性同余方程$a*x \equiv c (\bmod )$

的c=1的情況。我們就可以轉(zhuǎn)化為$a*x + b*y = 1$，求解這個(gè)方程的解。

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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm>#define ll long long using namespace std;void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1,y=0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);ll tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y; }int n,p;int main() {scanf("%d%d",&n,&p);for(int i=1;i<=n;i++){ll x,y;exgcd(i,p,x,y);x=(x%p+p)%p;printf("%lld\n",x);}return 0; } Exgcd

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二、快速冪+費(fèi)馬小定理

費(fèi)馬小定理：若$p$為素?cái)?shù)，$a$為正整數(shù)，且$a,p$互質(zhì)。 則有$a^{p-1} \equiv 1 (\bmod {p})$。

$a*x\equiv 1(\bmod )$

$a*x\equiv a^{p-1} (\bmod )$
$x \equiv a^{p-2} (\bmod )$

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有點(diǎn)兒慢。。。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm>#define ll long long using namespace std;int n,p;ll pow(int a,int b,int mod){ll s=1,t=a%mod;for(;b;b>>=1,t=1ll*t*t%mod)if(b&1) s=1ll*s*t%mod;return s; }int main() {scanf("%d%d",&n,&p);for(int i=1;i<=n;i++){printf("%lld\n",pow(i,p-2,p));}return 0; } 快速冪

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三、線性遞推求逆元

?如何遞推呢？

大佬說(shuō)：推一下就好了嘛

蒟蒻（我）：。。。=_=

首先$1^{-1}\equiv1(modp)$

設(shè)$p=k\times i+r$，$r <?i$，$1< i < p$

那么$k\times i+r \equiv 0 (mod p)$

方程同乘$i^{-1},r^{-1}$得

$k\times r^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (mod p)$

移項(xiàng)得：$i^{-1}\equiv -k\times r^{-1} (mod p)$

即$i^{-1}\equiv\lfloor{\frac{p}{i}}\rfloor \times (p mod i)^{-1} (mod p)$

也就是下面這一行代碼：

inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

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奉上代碼：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm>#define ll long long #define N 10101010 using namespace std;int n,p; ll inv[N]; int main() {scanf("%d%d",&n,&p);inv[1]=1;printf("1\n");for(int i=2;i<=n;i++){inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;printf("%lld\n",inv[i]);}return 0; }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/song-/p/9724555.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷——P3811 【模板】乘法逆元的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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