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5、二分查找判定樹
??? 　二分查找過程可用二叉樹來描述：把當前查找區(qū)間的中間位置上的結(jié)點作為根，左子表和右子表中的結(jié)點分別作為根的左子樹和右子樹。由此得到的二叉樹，稱為描述二分查找的判定樹(Decision Tree)或比較樹(Comparison Tree)。
??注意：
??? 　判定樹的形態(tài)只與表結(jié)點個數(shù)n相關(guān)，而與輸入實例中R[1..n].keys的取值無關(guān)。
? 　【例】具有11個結(jié)點的有序表可用下圖所示的判定樹來表示。
????
????????? ?http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/chazhao/chazhao9.2.2.2.htm

（1）二分查找判定樹的組成
　　①圓結(jié)點即樹中的內(nèi)部結(jié)點。樹中圓結(jié)點內(nèi)的數(shù)字表示該結(jié)點在有序表中的位置。
　　②外部結(jié)點：圓結(jié)點中的所有空指針均用一個虛擬的方形結(jié)點來取代，即外部結(jié)點。
　　③樹中某結(jié)點i與其左(右)孩子連接的左(右)分支上的標記"<"、"("、">"、")"表示：當待查關(guān)鍵字K<R[i].key(K>R[i].key)時，應走左(右)分支到達i的左(右)孩子，將該孩子的關(guān)鍵字進一步和K比較。若相等，則查找過程結(jié)束返回，否則繼續(xù)將K與樹中更下一層的結(jié)點比較。

（2）二分查找判定樹的查找
　　二分查找就是將給定值K與二分查找判定樹的根結(jié)點的關(guān)鍵字進行比較。若相等，成功。否則若小于根結(jié)點的關(guān)鍵字，到左子樹中查找。若大于根結(jié)點的關(guān)鍵字，則到右子樹中查找。
　　【例】對于有11個結(jié)點的表，若查找的結(jié)點是表中第6個結(jié)點，則只需進行一次比較；若查找的結(jié)點是表中第3或第9個結(jié)點，則需進行二次比較；找第1，4，7，10個結(jié)點需要比較三次；找到第2，5，8，11個結(jié)點需要比較四次。
??? 　由此可見，成功的二分查找過程恰好是走了一條從判定樹的根到被查結(jié)點的路徑，經(jīng)歷比較的關(guān)鍵字次數(shù)恰為該結(jié)點在樹中的層數(shù)。若查找失敗，則其比較過程是經(jīng)歷了一條從判定樹根到某個外部結(jié)點的路徑，所需的關(guān)鍵字比較次數(shù)是該路徑上內(nèi)部結(jié)點的總數(shù)。
??? 【例】待查表的關(guān)鍵字序列為：(05，13，19，21，37，56，64，75，80，88，92)，若要查找K=85的記錄，所經(jīng)過的內(nèi)部結(jié)點為6、9、10，最后到達方形結(jié)點"9-10"，其比較次數(shù)為3。
??? 　實際上方形結(jié)點中"i-i+1"的含意為被查找值K是介于R[i].key和R[i+1].key之間的，即R[i].key<K<R[i+1].key。

（3）二分查找的平均查找長度
???? 　設(shè)內(nèi)部結(jié)點的總數(shù)為n=2^h-1，則判定樹是深度為h=lg(n+1)的滿二叉樹(深度h不計外部結(jié)點)。樹中第k層上的結(jié)點個數(shù)為2^k-1，查找它們所需的比較次數(shù)是k。因此在等概率假設(shè)下，二分查找成功時的平均查找長度為：
?????????? ASL_bn≈lg(n+1)-1
　　二分查找在查找失敗時所需比較的關(guān)鍵字個數(shù)不超過判定樹的深度，在最壞情況下查找成功的比較次數(shù)也不超過判定樹的深度。即為：
??????? ???
　　二分查找的最壞性能和平均性能相當接近。

6、二分查找的優(yōu)點和缺點
　　雖然二分查找的效率高，但是要將表按關(guān)鍵字排序。而排序本身是一種很費時的運算。既使采用高效率的排序方法也要花費O(nlgn)的時間。
　　二分查找只適用順序存儲結(jié)構(gòu)。為保持表的有序性，在順序結(jié)構(gòu)里插入和刪除都必須移動大量的結(jié)點。因此，二分查找特別適用于那種一經(jīng)建立就很少改動、而又經(jīng)常需要查找的線性表。
　　對那些查找少而又經(jīng)常需要改動的線性表，可采用鏈表作存儲結(jié)構(gòu)，進行順序查找。鏈表上無法實現(xiàn)二分查找。http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/chazhao/chazhao9.2.2.2.htm