最大流是圖應(yīng)用，將有向圖理解為一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，可模型化流經(jīng)管道的液體、通過裝配線的部件、電網(wǎng)中的電流、通訊網(wǎng)絡(luò)傳送的信息等，源點(diǎn)以固定能量產(chǎn)生，而匯點(diǎn)則消耗同等能量，保持守恒。最大流問題追求的就是在流網(wǎng)絡(luò)中，物質(zhì)從源點(diǎn)傳到匯點(diǎn)的最大能量是多少？對于流網(wǎng)絡(luò)，算法導(dǎo)論中給出了形式化定義。

流網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)是一個(gè)有向圖，其中每條邊(u,v)∈E均有一個(gè)非負(fù)能量c(u,v)≥0。如果(u,v)?E，則假定c(u,v)=0。流網(wǎng)絡(luò)中有兩個(gè)特點(diǎn)的頂點(diǎn)，源點(diǎn)s和匯點(diǎn)t，假定每個(gè)頂點(diǎn)均處于從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的某條路徑上，就是說，對每個(gè)頂點(diǎn)v∈V，存在一條路徑s->v->t，因此圖G是連通圖，且|E|≥|V|-1。

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，其能量函數(shù)為c。設(shè)s為網(wǎng)絡(luò)的源點(diǎn)，t為匯點(diǎn)。G的流是一個(gè)實(shí)值函數(shù)f:VXV->R，且滿足下列三個(gè)性質(zhì)：

容量限制：對所有u,v∈V，要求f(u,v)≤c(u,v)

反對稱性：對所有u,v∈V，要求f(u,v)=-f(v,u)

容量限制性質(zhì)說明從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)流不能超過設(shè)定的容量；反對稱性說明從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)v的流是其反向流求負(fù)所得。流手恒性說明從非源頂點(diǎn)或非匯點(diǎn)的頂點(diǎn)出發(fā)的總網(wǎng)絡(luò)流為0。

最大流問題，就是給出一個(gè)具有源點(diǎn)s和匯點(diǎn)t的流網(wǎng)絡(luò)G，希望找出從s到t的最大值流。

頂點(diǎn)總的凈流量：離開頂點(diǎn)的總的正流量，減去進(jìn)入頂點(diǎn)的總的正流量。流守恒性的另一個(gè)說法，進(jìn)入某個(gè)非源點(diǎn)非匯點(diǎn)的頂點(diǎn)的正網(wǎng)絡(luò)流，必須等于離開該頂點(diǎn)的正網(wǎng)絡(luò)流，即流進(jìn)等于流出。注意是正網(wǎng)絡(luò)流。

存在多個(gè)源點(diǎn)和匯點(diǎn)的最大流問題中，將建立超級源點(diǎn)和超級匯點(diǎn)。

流函數(shù)f以流網(wǎng)絡(luò)中的兩個(gè)頂點(diǎn)作為自變量，并隱含求和記號(hào)的數(shù)學(xué)定義如下：

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，f是G中的一個(gè)流：

對所有X?V，f(X,X)=0

對所有X,Y?V，f(X,Y)=-f(Y,X)

對所有X,Y,Z?V，其中X∩Y=?，有f(XUY,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)且f(Z,XUY)=f(Z,X)+f(Z,Y)

應(yīng)用隱含求和記法，可以證明一個(gè)流的值為進(jìn)入?yún)R點(diǎn)的全部網(wǎng)絡(luò)流：

|f|=f(V,t)，根據(jù)流守恒性，對所有頂點(diǎn)（非源點(diǎn)非匯點(diǎn)），進(jìn)入頂點(diǎn)的總的正流量等于離開頂點(diǎn)的總的正流量。根據(jù)上面的數(shù)學(xué)定義，證明：

|f|=f(s,V)

? =f(V,V)-f(V-s,V)

? =-f(V-s,V)

? =f(V,V-s)

? =f(V,t)+f(V,V-s-t)

? =f(V,t)

1）Ford-Fulkerson方法

Ford-Fulkerson方法用流網(wǎng)絡(luò)的割求解最大流的值，依賴三個(gè)主要思想：殘留網(wǎng)絡(luò)、增廣路徑、割。

?? 殘留網(wǎng)絡(luò)形式化定義

假定一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)，源點(diǎn)為s，匯點(diǎn)為t；設(shè)f是G中的一個(gè)流，并考察一對頂點(diǎn)u,v∈V，在不超過容量c(u,v)的條件下，從u到v之間可以壓入的額外網(wǎng)絡(luò)流量，就是(u,v)的殘留容量，定義為：c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)。

如果c(u,v)=16且f(u,v)=11，那么在不超過16的情況下，可以在增加c_f(u,v)=5的流來增加f(u,v)。

給定一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)和流f，由f壓得的G的殘留網(wǎng)絡(luò)G_f=(V,E_f)，其中：

E_f={(u,v)∈VXV: c_f(u,v)>0}

在殘留網(wǎng)絡(luò)中，每條殘留邊都能夠容納一個(gè)嚴(yán)格為正的網(wǎng)絡(luò)流。E_f中的邊可以是E中的也可以是反向邊。在f(u,v)<0情況下，即反向變邊，E_f中的邊不在E中。

設(shè)G=(V,E)是源點(diǎn)為s、匯點(diǎn)為t的一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，且f為G中的一個(gè)流。設(shè)G_f是由f導(dǎo)出的G的殘留網(wǎng)絡(luò)，且f’為G_f中的一個(gè)流。那么f+f’之和也是G中的一個(gè)流，|f+f’|=|f|+|f’|。

?? 增廣路徑的形式化定義

已知一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)和流f，增廣路徑p為殘留網(wǎng)絡(luò)G_f中從s到t的一條簡單路徑。

沿一條增廣路徑p的每條邊傳輸?shù)木W(wǎng)絡(luò)流的最大量為p的殘留容量，定義為：

c_f(p)=min{c_f(u,v):(u,v)在p上}

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，f是G的一個(gè)流，并設(shè)p是殘留網(wǎng)絡(luò)G_f中的一條增廣路徑，定義函數(shù)：

f_p:VXV->R

則f_p是G_f上的一個(gè)流，其值為|f_p|= c_f(p)>0。

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，f是G的一個(gè)流，p是殘留網(wǎng)絡(luò)G_f中的一條增廣路徑。f_p定義如上， f’=f+f_p也是G的一個(gè)流，值|f’|=|f|+|f_p|>|f|。

通俗地理解殘留網(wǎng)絡(luò)和增廣路徑：在流網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)流f上還可以容納的多余的流量就是殘留網(wǎng)絡(luò)，而在殘留網(wǎng)絡(luò)中尋找最大流就是增廣路徑，原來流f加上殘留網(wǎng)絡(luò)中的增廣路徑流就是不斷增加了最大流的值，如此迭代，尋找最大流的值。

?? 流網(wǎng)絡(luò)的割形式化定義

Ford-Fulkerson方法沿著增廣路徑反復(fù)增加流，直至找到最大流為止。最大流最小割原理是：一個(gè)流使最大流，當(dāng)且僅當(dāng)它的殘留網(wǎng)絡(luò)不包含增廣路徑。

流網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)的割(S,T)是將頂點(diǎn)集合V劃分為S和T=V-S兩部分，使得s∈S，t∈T。如果f是一個(gè)流，則穿過(S,T)的凈流定義為f(S,T)，割(S,T)的容量為c(S,T)。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最小割也是網(wǎng)絡(luò)中所有割中具有最小容量的割。

設(shè)f是源點(diǎn)s、匯點(diǎn)t的流網(wǎng)絡(luò)G中的一個(gè)流，并且(S,T)是G的一個(gè)割，則通過割(S,T)的凈流f(S,T)=|f|，即一個(gè)流的值為進(jìn)入?yún)R點(diǎn)的總網(wǎng)絡(luò)流量。

網(wǎng)絡(luò)的最大流必定不超過此網(wǎng)絡(luò)最小割的容量，最大流的值實(shí)際上就是某一個(gè)最小割的容量。

這個(gè)很好理解了，就是關(guān)鍵割了，最大值取決于關(guān)鍵路徑上的容量。

有了上面三個(gè)形式化定義，現(xiàn)在可以正式說明最大流最小割定理。

如果f是具有源點(diǎn)s和匯點(diǎn)t的流網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)中的一個(gè)流，則下列條件是等價(jià)的：

第一：f是G的一個(gè)最大流；

第二：殘留網(wǎng)絡(luò)G_f不包含增廣路徑；（迭代再也找不到增廣路徑）

第三：對G的某個(gè)割(S,T)，有|f|=c(S,T)；（最大流是最小割的容量）

對Ford-Fulkerson方法的算法分析以及通過最短路徑距離定義優(yōu)化的Edmonds-Karp算法不多述。理解最大流最小割原理最重要是理解流的定義。

Ford-Fulkerson方法的基礎(chǔ)算法中關(guān)鍵是增廣路徑的尋找，這也是決定算法性能的關(guān)鍵點(diǎn)。

2）最大二分匹配

流網(wǎng)絡(luò)的流滿足容量限制、反對稱性、流守恒性三大性質(zhì)，基于殘留網(wǎng)絡(luò)、流網(wǎng)絡(luò)割以及增廣路徑的定義，形成最大流的最小割容量值定理。

最大二分匹配正式在這樣基礎(chǔ)上，用以解決二分圖匹配問題。可以說是將二分匹配問題轉(zhuǎn)化為最大流問題，也可以說是最大流問題適合用于解決二分匹配問題，anyway，先看看二分匹配問題的定義。

給定一個(gè)無向圖G=(V,E)，一個(gè)匹配是一個(gè)邊的子集M?E，且滿足對所有頂點(diǎn)v∈V，M中至多有一條邊和v關(guān)聯(lián)。如果M中某條邊和v關(guān)聯(lián)，則說頂點(diǎn)v∈V被匹配，否則是無匹配。最大匹配就是最大勢的匹配。假定頂點(diǎn)集合可被劃分為V=LUR，其中L和R是不相交的，且E中的所有邊一個(gè)端點(diǎn)在R中、另一個(gè)端點(diǎn)在l中，并假設(shè)V中的每個(gè)頂點(diǎn)至少有一條關(guān)聯(lián)的邊。基于這樣的二分圖定義尋找最大匹配問題有很多實(shí)際應(yīng)用。如集群機(jī)器執(zhí)行分布式任務(wù)，機(jī)器是集合L，任務(wù)是集合R，E中的邊(u,v)假設(shè)為u∈L的機(jī)器執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù)v∈R，最大匹配可以將任務(wù)盡可能多地分配給機(jī)器執(zhí)行。

應(yīng)用Ford-Fulkerson方法可以在關(guān)于|V|和|E|的多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)，找出無向二分圖G=(V,E)的最大匹配。針對二分圖建立一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，流對應(yīng)于匹配，尋找最大匹配就是尋找最大流。定義下二分圖G的相應(yīng)流網(wǎng)絡(luò)G¹=(V¹,E¹)：

設(shè)源點(diǎn)s和匯點(diǎn)t是不屬于V的新頂點(diǎn)，V¹=VU{s,t}，如果G的頂點(diǎn)劃分為V=LUR，G¹的有向邊為E的邊，從L指向R，再加上|V|條新邊：

E¹={(s,u):u∈L}U{(u,v):u∈L,v∈R，and (u,v)∈E}U{(v,t):v∈R}

V中的每個(gè)頂點(diǎn)至少有一條關(guān)聯(lián)邊，|E|≥|V|/2。

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)二分圖，其頂點(diǎn)劃分為V=LUR，設(shè)G¹=(V¹,E¹)是G對應(yīng)的流網(wǎng)絡(luò)。如果M是G的匹配，則G¹中存在一個(gè)整數(shù)值的流f，且|f|=|M|，相反，如果f是G¹中的整數(shù)值流，則G中存在一匹配M滿足|M|=|f|。二分圖G的一個(gè)最大匹配M的勢等于其相應(yīng)的流網(wǎng)絡(luò)G¹中的某一最大流的值。

算法導(dǎo)論還就最大流給出了壓入與重標(biāo)記算法以及優(yōu)化的重標(biāo)記與前移算法，值得去深入理解。在理解最大流及其應(yīng)用上，還是有點(diǎn)脫離實(shí)際，所以暫不深入掌握這兩個(gè)算法。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论之最大流的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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