文章目錄

• • 1、 導入包庫
  • 2、定義函數
  • 3、使用`autograd`定義導數
  • 4、實現牛頓迭代
  • 5、用`scipy`對應方法檢驗結果
  • 6、小結

考慮非線性方程：

$$f(x)=\sin (x)?{\mathrm{e}}^{?x}=0$$

1、 導入包庫

import autograd.numpy as np from autograd import grad import matplotlib.pyplot as plt

2、定義函數

def sin_exp(x):return np.sin(x) - np.exp(-x)

查看一下函數的圖象：

x_points = np.linspace(-3,3,1000) y_points = sin_exp(x_points)plt.plot(x_points,y_points) plt.show()

可見該函數在附近沒有重根。

3、使用autograd定義導數

grad_func = grad(sin_exp)

4、實現牛頓迭代

$$x^{k+1}=x^k?\frac{f(x^k)}{f^{\prime }(x^k)}$$

x = -3. # grad只支持float fun_vals = [sin_exp(x)] # 該變量用于存儲函數值 for i in range(50): x -= sin_exp(x)/grad_func(x)fun_vals.append(sin_exp(x))print('x=',x) print('f(x)=',sin_exp(x)) x= 0.5885327439818611 f(x)= 0.0

畫出收斂過程：

plt.plot(fun_vals) plt.show()

# 前10個點 plt.plot(fun_vals[:10]) plt.show()

5、用scipy對應方法檢驗結果

from scipy.optimize import rootresult = root(sin_exp,-3.)print('x=',result.x) print('f(x)=',result.fun) x= [0.58853274] f(x)= [0.]

對比一下差距：

print(x-result.x) [0.]

6、小結

（1）用autograd實現簡單非線性方程十分簡單

（2）牛頓迭代收斂速度極快

另外：

（1）函數本身的性質仍然會影響算法的收斂性。本文選取的函數在給定區間內僅有一個根，更復雜的情況未討論。

（2）初始值的選取仍然會影響算法收斂性，本文亦未討論。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的用numpy autograd 实现牛顿迭代的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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