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模糊数学笔记：二、模糊截集与分解定理

發布時間：2025/4/16 编程问答 21 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了模糊数学笔记：二、模糊截集与分解定理小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

1、定義

模糊集的入截集 $AλA_\lambda$ .是一個經典集合,由隸屬度不小于 $λ$ 的成員構成.它的特征函數為
$χAλ(x)={1,A(x)?λ0,A(x)<λ\chi_{A_{\lambda}}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & A(x) \geqslant \lambda \\ 0, & A(x)<\lambda \end{array}\right.$

例1：設論域 $U$ 表示學生,他們某門功課的分數依次是50, 60,70,85,90,95. $A = “ 學習成績好的學生 ”$ ,他們所得的分數除以100后,即為各自對 $A$ 的隸屬度,即

$A=0.5u1+0.6u2+0.7u3+0.85u4+0.9u5+0.95u6A=\frac{0.5}{u_{1}}+\frac{0.6}{u_{2}}+\frac{0.7}{u_{3}}+\frac{0.85}{u_{4}}+\frac{0.9}{u_{5}}+\frac{0.95}{u_{6}}$

要糊定“學習成績好的學生”實際上就是要將模糊集 $A$ 轉化為經典集合，即先確定一個閾值 $λ (0 \leq 1 \leq 1)$ ,然后將隸屬度 $A (r) \geq λ$ 的元素找出來，當 $λ$ 取0.9，0.8, 0.6, 0.5時：
$A0.9(90分以上者?)={u5,u6},A0.8(80分以上者?)={u4,u5,u6}A0.6(60分以上者?)={u2,u3,u4,u5,u6},A0.5(50分以上者?)={u1,u2,u3,u4,u5,u6}\begin{array}{l} A_{0.9}(90 \text { 分以上者 })=\left\{u_{5}, u_{6}\right\}, \\ A_{0.8}(80 \text { 分以上者 })=\left\{u_{4}, u_{5}, u_{6}\right\} \\ A_{0.6}(60 \text { 分以上者 })=\left\{u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}, u_{6}\right\}, \\ A_{0.5}(50 \text { 分以上者 })=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}, u_{6}\right\} \end{array}$

例2： $A(x)=exp?[1?(x?a)2σ2]A(x)=\exp \left[1-\frac{(x-a)^{2}}{\sigma^{2}}\right]$ ，求 $Aλ(0<λ≤1)A_\lambda(0<\lambda \leq 1)$

$A(x)?λ??(x?a)2σ2?ln?λ?(x?a)2??σ2ln?λ?a??σ2ln?λ?x?a+?σ2ln?λ\begin{aligned} A(x) \geqslant \lambda & \Leftrightarrow-\frac{(x-a)^{2}}{\sigma^{2}} \geqslant \ln \lambda \\ & \Leftrightarrow(x-a)^{2} \leqslant-\sigma^{2} \ln \lambda \\ & \Leftrightarrow a-\sqrt{-\sigma^{2} \ln \lambda} \leqslant x \leqslant a+\sqrt{-\sigma^{2} \ln \lambda} \end{aligned}$

? 因此
$Aλ={x∣a??σ2ln?λ?x?a+?σ2λ}A_{\lambda}=\left\{x \mid a-\sqrt{-\sigma^{2} \ln \lambda} \leqslant x \leqslant a+\sqrt{-\sigma^{2} \lambda}\right\} \\$
? 或
$Aλ=[a??σ2ln?λ,a+?σ2ln?λ]A_{\lambda}=[a-\sqrt{-\sigma^{2} \ln \lambda}, a+\sqrt{-\sigma^{2} \ln \lambda}]$

2、性質

$\subseteq B \Rightarrow A_{2} \subseteq B_{2} \\ \mu \leqslant \lambda \Rightarrow A_{\mu} \subseteq A_{\lambda} \\ \left(A \cup B\right)_{\lambda}=A_{\lambda} \cup B_{\lambda}, \quad(A \cap B)_{\lambda}=A_{\lambda} \cap B_{\lambda}$

3、支集、正規集與核

$1°1^{\circ}$ 稱集合 $SuppA={x∣A(x)>0}\mathrm{Supp}\ A=\{x \mid A(x)>0\}$ 為 $A$ 的支集, 記 $SuppA=Av\mathrm{Supp}\ A=A_{v}$
$2°2^{\circ}$ 稱集合 $KerA={x∣A(x)=1}\mathrm{Ker}\ A=\{x \mid {A}(x)=1\}$ 為 $A$ 的核, 記Ker $A=A_{1} .$ 若 $Ker?A≠?\operatorname{Ker} A \neq \varnothing$ ,則稱
為正規模糊集。
$3°3^{\circ}$ 稱集合 $BdA={x∣0<A(x)<1}\mathrm{Bd}\ A=\{x \mid 0<A(x)<1\}$ 為 $A$ 的邊界,即 $BdA=Supp?A?Ker?A\mathrm{Bd} A=\operatorname{Supp}\ A-\operatorname{Ker} A$

4、分解定理

任意模糊集合可以寫成：

$A=?λ∈[0,1]λAλA=\bigcup_{\lambda \in[0, 1]} \lambda A_{\lambda}$

定理表,模糊集可由經典集合表示,這反映T模糊集和經典集合的密切關系，建立了模糊集與經典集合的轉化關系。

上述定理也可以寫成：

$A(x)=?λ∈[0,1][λ∧χAλ(x)]A(x)=\bigvee_{\lambda \in[0,1]}\left[\lambda \wedge \chi_{A_{\lambda}}(x)\right]$

或者
$A(x)=?{λ∈[0,1];x∈Aλ}A(x)=\bigvee\left\{\lambda \in[0,1] ; x \in A_{\lambda}\right\}$
由上述結論可知，若已知模糊集的所有截集，則可以反求模糊集本身。

例3：求出模糊集 $A=0.7u1+0.8u2+0.2u3+1u4A=\frac{0.7}{u_{1}}+\frac{0.8}{u_{2}}+\frac{0.2}{u_{3}}+\frac{1}{u_{4}}$ 的所有截集及分解.

所有截集：
$A1={u4}=1u4,1A1=1u4A0.8={u2,u4}=1u2+1u4,0.8A0.8=0.8u2+0.8u4A0.7=1u1+1u2+1u4,0.7A0.7=0.7u1+0.7u2+0.7u4A0.2={u1,u2,u3,u4}=1u1+1u2+1u3+1u40.2A0.2=0.2u1+0.2u2+0.2u3+0.2u4A_{1}=\left\{u_{4}\right\}=\frac{1}{u_{4}}, \quad 1 A_{1}=\frac{1}{u_{4}} \\ A_{0.8}=\left\{u_{2}, u_{4}\right\}=\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{4}}, \quad 0.8 A_{0.8}=\frac{0.8}{u_{2}}+\frac{0.8}{u_{4}} \\ A_{0.7}=\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{4}}, \quad 0.7 A_{0.7}=\frac{0.7}{u_{1}}+\frac{0.7}{u_{2}}+\frac{0.7}{u_{4}} \\ A_{0.2}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right\}=\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+\frac{1}{u_{4}} \\ 0.2 A_{0.2}=\frac{0.2}{u_{1}}+\frac{0.2}{u_{2}}+\frac{0.2}{u_{3}}+\frac{0.2}{u_{4}}$
最終分解：
$A_{1} \cup 0.8 A_{0.8} \cup 0.7 A_{0.7} \cup 0.2 A_{0.2}=\frac{1}{u_{4}} \bigvee\left(\frac{0.8}{u_{2}}+\frac{0.8}{u_{4}}\right) \bigvee\left(\frac{0.7}{u_{1}}+\frac{0.7}{u_{2}}+\frac{0.7}{u_{4}}\right) \bigvee\left(\frac{0.2}{u_{1}}+\frac{0.2}{u_{2}}+\frac{0.2}{u_{3}}+\frac{0.2}{u_{3}}\right) \\ =\frac{0.7 \bigvee 0.2}{u_{1}}+\frac{0.8 \bigvee 0.7 \bigvee 0.2}{u_{2}}+\frac{0.2}{u_{3}}+\frac{1}{4} \frac{V 0.8 \bigvee 0.7 \bigvee 0.2}{u_{4}} \\ =\frac{0.7}{u_{1}}+\frac{0.8}{u_{2}}+\frac{0.2}{u_{3}}+\frac{1}{u_{4}}=A$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：二、模糊截集与分解定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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