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概率论与数理统计（一）

發布時間：2025/4/16 编程问答 8 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了概率论与数理统计（一）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

筆記總目錄

文章目錄

第一章隨機事件及概率
- 1、隨機試驗
- 2、樣本空間、隨機事件
- - - 樣本空間
    - 隨機事件
    - 事件間的關系與事件的運算
- 3、頻率與概率
- - 頻率
  - 概率
  - - 概率的性質：
- 4、等可能概型（古典概型）
- 5、條件概率
- - 條件概率
  - 乘法定理
  - 全概率公式和貝葉斯公式
- 6、事件的獨立性

第一章隨機事件及概率

在一定條件下必然發生為確定性現象
在個別試驗中其結果呈現不確定性，在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性的現象為隨機現象

1、隨機試驗

定義：對隨機現象進行觀察或實驗稱為隨機試驗，簡稱試驗，記作E，具有以下特點：

相同條件下重復進行

每次試驗的可能結果不止一個（至少兩個，也可能是無窮個），并且實現明確所有可能。

每次實驗前不能確定是哪個結果。

2、樣本空間、隨機事件

樣本空間

隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S，樣本空間的元素，即E的每一個結果，稱為樣本點

隨機事件

隨機試驗E的樣本空間S的子集A為E的隨機事件，簡稱事件。
當某一子集出現時，稱為事件發生。
由一個樣本點e組成的單點集{e}稱為基本事件。
樣本空間S包含子試驗中所有的樣本點，在每次試驗中總會發生，稱S為必然事件。
空集?不包含任何樣本點，?稱為不可能事件。
由若干事件組合而成的事件稱為復合事件

事件間的關系與事件的運算

設試驗E的樣本空間S。A，B， $A_k$ (k=1,2,3…)是S的子集
1.若A $?\subset$ B，則稱事件B包含事件A。A $?\subset$ B的一個等價說法，對B不發生，A也不會發生。? $?\subset$ A $?\subset$ B
若A $?\subset$ B且B $?\subset$ A則A=B，事件A與事件B相等
2.事件A $?\bigcup$ B={x|x $∈\in$ A或x $∈\in$ B}稱為事件A與B的和事件，當且僅當A，B中至少有一個發生，事件A $?\bigcup$ B發生
3.事件A $?\bigcap$ B={x|x $∈\in$ A且x $∈\in$ B}稱為事件A與事件B的交（積），當且僅當事件A與事件B同時發生。
4.事件A-B={x|x $∈\in$ A且x $?\notin$ B}稱為事件A和B的差事件，當且僅當A發生，B不發生時A-B發生。
5.若A $?\bigcap$ B=?，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的
6.若A $?\bigcup$ B=S且A $?\bigcap$ B=?，則稱事件A與B互為逆事件，又稱事件A和事件B互為對立事件
逆運算的性質：
A $?\bigcap$ $A￣\overline{A}$ =A $A￣\overline{A}$ =?
A $?\bigcup$ $A￣\overline{A}$ =S

交換律：
A $?\bigcup$ B=B $?\bigcup$ A或A + B=B + A
A $?\bigcap$ B=B $?\bigcap$ A或AB=BA

結合律：
A $?\bigcup$ （B $?\bigcup$ C）=（A $?\bigcup$ B ） $?\bigcup$ C=A $?\bigcup$ B $?\bigcup$ C
或A + （B + C）=（A + B ）+ C = A + B + C
A $?\bigcap$ （B $?\bigcap$ C）=（A $?\bigcap$ B ） $?\bigcap$ C =A $?\bigcap$ B $?\bigcap$ C
或A （B C）=（A B ） C =A B C

分配律：
A $?\bigcup$ （B $?\bigcap$ C）= （A $?\bigcup$ B） $?\bigcap$ （A $?\bigcup$ C）
或A + （B C）= （A + B）（A + C）
A $?\bigcap$ （B $?\bigcup$ C）= （A $?\bigcap$ B） $?\bigcup$ （A $?\bigcap$ C）
或A （B + C）= A B+A C

德摩根律（對偶原理）：
$A?B￣\overline{A \bigcup B}$ = $A￣?B￣\overline{A} \bigcap \overline{B}$
$A?B￣\overline{A \bigcap B}$ = $A￣?B￣\overline{A} \bigcup \overline{B}$

3、頻率與概率

頻率

定義：在相同條件下，進行了n次試驗，事件A發生的次數稱為A的頻數，記n(A),比值n(A)/n稱為事件A的頻率，記作 $f_n(A)$ ,即 $f_n(A)$ = $n (A) / n$
頻率具有以下特性：

≤\leq

f_n(A)

≤\leq

f_n(S)

若

A_1

，

A_2

…

A_k

是兩兩互不相容事件，則

fn(A1?A2?...?Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(Ak))f_n(A_1\bigcup A_2 \bigcup...\bigcup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+...+f_n(A_k))

概率

定義：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數，記為P(A),稱為事件A的概率
函數P(A)滿足下列條件：
(1)非負性：對每一個事件A，都有P(A) $≥\geq$ 0
(2)規范性：對于必然事件S，都有P(S)=1
(3)可列可加性，對于兩互不相容事件 $A_1$ ， $A_2$ …有 $P(A1?A2?...)=P(A1)+P(A2)+...P(A_1\bigcup A_2 \bigcup...)=P(A_1)+P(A_2)+...$

概率的性質：

性質1：P（?）=0（不可能事件概率為0）
一個事件概率為0不代表它不可能發生
即概率為0的事件未必是不可能事件

性質2：有限可加性
設 $A_1$ ， $A_2$ … $A_n$ 是兩兩互不相容的事件，則有 $P(A1?A2?...?An)=P(A1)+P(A2)+...P(An)P(A_1\bigcup A_2 \bigcup...\bigcup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...P(A_n)$

可由可列可加性推出有限可加性，不可由有限可加性推出可列可加性

性質3：設事件A與事件B滿足A $?\subset$ B則
(1)P(A) $≤\leq$ P(B) 單調性（A $?\subset$ B => P(A) $≤\leq$ P(B)）
(2)P(B-A)=P(B)-P(A) 減法公式
證：
由A $?\subset$ B得B = A $?\bigcup$ (B-A)
由概率的可列可加性
P(B)=P(A $?\bigcup$ (B-A))

=P(A)+P (B-A)
P (B-A)=P(B)-P(A)
一般的：P (B-A)=P(B)-P(AB) $≥\geq$ P(B)-P(A)
（ $B?A=BA￣=B(1?A)=B?ABB-A=B\overline{A}=B(1-A)=B-AB$ ）

性質4：對任何事件
$\leq P(A) \leq 1(任何事件的概率介于0和1之間)$

性質5：逆事件概率
對任何事件A，有P(A)+P( $A￣\overline{A}$ )=1或P(A)=1-P( $A￣\overline{A}$ )

性質6：加法公式
對于任意兩個事件A與B，有P(A $?\bigcup$ B)=P(A)+P(B)-P(AB)
推廣：P(A $?\bigcup$ B $?\bigcup$ C)=P(A)+P(B)+P( C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

4、等可能概型（古典概型）

特點：
(1)樣本空間包括有限個元素
(2)試驗中每個基本事件發生的可能性相同
以上特點試驗為等可能概型，也稱為古典概型

生日問題：
有n個人，生日相同的兩個概率為多少
P(A)=1- $365?364?..(365?n)365n\frac{365\cdot 364 \cdot ..(365-n)}{365^n}$

抽簽問題：
一袋中有a個白球，b個黃球，記a+b=n，設每次摸到概率相等，不放回摸n次，求第k次摸到白球的概率
P( $A_k$ )= $a(a+b?1)!(a+b)!=aa+b\frac{a(a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b}$

5、條件概率

條件概率

考慮事件A已經發生條件下，事件B發生的概率
定義：設A，B是兩個事件，且P(A)>0,稱
P(B|A)= $P(AB)P(A)=N(AB)/N(s)N(A)/N(s)=N(AB)N(A)\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{N(AB)/N(s)}{N(A)/N(s)}=\frac{N(AB)}{N(A)}$
為在事件A發生條件下，事件A發生的條件概率
滿足概率三個條件：
(1)非負性：對于每一事件B，有 $P(B∣A)≥0P(B|A)\geq0$ ;
(2)規范性：對于必然事件S，有 $P (S ∣ A) = 1$ ;
(3)可列可加性：設 $B_1,B_2,B_3...$ 兩兩互不相容
$P(?i=1∞Bi∣A)=∑i=1∞P(Bi∣A)P(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i|A)=\sum_{i=1}^{\infty}P(B_i|A)$

加法公式： $P(A?B∣C)=P(A∣C)+P(B∣C)?P(AB∣C)P(A\bigcup B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)$

對立事件的概率公式： $P(B￣∣A)=1?P(B∣A)P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$

乘法定理

設 $P (A) > 0$ ,則有

$P (A B) = P (B ∣ A) P (A)$
稱為乘法公式
兩個事件同時發生的概率同時發生的概率等于第一個事件概率乘以第一個事件發生下第二個事件概率
推廣：設A,B,C是事件，且 $P (A B)$ >0(從而P(A)>0)
則 $P (A B C) = P (A B) P (C ∣ A B) = P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A B) (P (A B) > 0)$
$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)$

全概率公式和貝葉斯公式

1.樣本空間的劃分的定義
定義：設S為試驗E的樣本空間， $B_1,B_2,B_3...B_n$ 為E的一組事件，若
(1) $BiBj=?,i≠j，i,j=1,2,3,..,nB_iB_j=\emptyset,i\neq j，i,j=1,2,3,..,n$
(2) $B1?B2?...?Bn=SB_1\bigcup B_2\bigcup...\bigcup B_n=S$
就稱 $B_1,B_2,B_3...B_n$ 為樣本空間的一個劃分
若 $B_1,B_2,B_3...B_n$ 是樣本空間的一個劃分，那么，對每次試驗，事件 $B_1,B_2,B_3...B_n$ 必有一個僅有一個發生

2.全概率公式

定理設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件， $B_1,B_2...B_n$ 為S的一個劃分，
且P( $B_i$ )>0(i=1,2,3…,n),則
$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...P(A|B_n)P(B_n)$

$=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$

稱為全概率公式
意義：將復雜事件劃分為簡單事件，再結合乘法和加法計算的A的概率
如果P(A)不容易求得，但很容易找到S的劃分 $B_1,B_2...B_n$ ，且 $P(B_i)與P(A|B_i)$ 易求得，就可以通過全概率公式求
3.貝葉斯公式

定理設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件， $B_1,B_2...B_n$ 為S的一個劃分，且P(A)>0
$P(B_i)$ >0(i=1,2,3…,n),則
$P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi),i=1,2,..nP(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)},i=1,2,..n$

稱為貝葉斯公式

可由全概率公式推出
$P(Bi∣A)=P(ABi)P(A)=P(A∣Bi)P(Bi)∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(B_i|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$

意義：在A已發生的而條件下，可用來尋找導致A發生的各種原因 $B_i$ 的概率

6、事件的獨立性

定義(獨立性)
設A，B是兩個事件，如果他們滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱為事件A與事件B相互獨立，簡稱A,B獨立
兩個事件獨立是指一個事件發生的概率不受另一個事件發生與否的影響。

定理一：設A，B是兩個事件，且P(A)>0,則A，B獨立的充分必要條件是 $P (B ∣ A) = P (B)$

事件獨立與互斥的關系：
如果P(A)>0,P(B)>0
則A,B獨立，與A,B互斥不能同時成立
因為A,B獨立時，有P(AB)=P(A)P(B)>0
而A,B互斥時，AB= $?\emptyset$
P( $?\emptyset$ )=0

定理二:若事件A和B相互獨立，則以下各對事件也相互獨立
$A$ 與 $B￣\overline{B}$ , $A￣\overline{A}$ 和 $B$ , $A￣\overline{A}$ 和 $B￣\overline{B}$

推廣

獨立性的等價條件：
設0<P(A)<1
則
(1)A與B獨立
(2)P(AB)=P(A)P(B)
(3)P(B|A)=P(B)
(4)P(B| $A￣\overline{A}$ )=P(B)
()5)P(B|A)=P(B| $A￣\overline{A}$ )

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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