我們經常使用的數的進制為“常數進制”，即始終逢p進1。例如，p進制數K可表示為
??? K = a0*p^0 +a1*p^1 + a2*p^2 + ... + an*p^n （其中0 <= ai<= p-1），
它可以表示任何一個自然數。

對于這種常數進制表示法，以及各種進制之間的轉換大家應該是很熟悉的了，但大家可能很少聽說變進制數。這里我要介紹一種特殊的變進制數，它能夠被用來實現全排列的Hash函數，并且該Hash函數能夠實現完美的防碰撞和空間利用（不會發生碰撞，且所有空間被完全使用）。這種全排列Hash函數也被稱為全排列數化技術。

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變進制數：

我們考查這樣一種變進制數：第1位逢2進1，第2位逢3進1，……，第n位逢n+1進1。它的表示形式為
??? K = a1*1！ +a2*2！ + a3*3！ + ... + an*n！ （其中0 <= ai<= i），
也可以擴展為如下形式（因為按定義a0始終為0），以與p進制表示相對應：
??? K = a0*0！ +a1*1！ + a2*2！ + a3*3！ + ... + an*n！ （其中0 <= ai<= i）。
（后面的變進制數均指這種變進制數，且采用前一種表示法）

先讓我們來考查一下該變進制數的進位是否正確。假設變進制數K的第i位ai為i+1，需要進位，而ai*i！=(i+1)*i！=1*(i+1)！，即正確的向高位進1。這說明該變進制數能夠正確進位，從而是一種合法的計數方式。

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n位變進制數K的性質：
（1）當所有位ai均為i時，此時K有最大值
??? MAX[K] =1*1！ + 2*2！ + 3*3！ + ... + n*n！
??????????= 1！ + 1*1！ + 2*2！ + 3*3！ + ... + n*n！ - 1
??????????= (1+1)*1！ + 2*2！ + 3*3！ + ... + n*n！ - 1
??????????= 2！ + 2*2！ + 3*3！ + ... + n*n！ - 1
??????????= ...
??????????= (n+1)！-1
???因此，n位K進制數的（9php.com）最大值為(n+1)！-1。
（2）當所有位ai均為0時，此時K有最小值0。
因此，n位變進制數能夠表示0到(n+1)！-1的范圍內的所有自然數，共(n+1)！個。

ps：全排列的Hash函數完美利用空間防碰撞的前提。

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全排列的Hash函數：

在一些狀態空間搜索算法中，我們需要快速判斷某個狀態是否已經出現，此時常常使用Hash函數來實現。其中，有一類特殊的狀態空間，它們是由全排列產生的，比如N數碼問題。對于n個元素的全排列，共產生n！個不同的排列或狀態。下面將討論如何使用這里的變進制數來實現一個針對全排列的Hash函數。

從數的角度來看，全排列和變進制數都用到了階乘。如果我們能夠用0到n！-1這n！個連續的變進制數來表示n個元素的所有排列，那么就能夠把全排列完全地數化，建立起全排列和自然數之間一一對應的關系，也就實現了一個完美的Hash函數。那么，我們的想法能否實現呢？答案是肯定的，下面將進行討論。

假設我們有b0，b1，b2...bn 共 n+1 個不同的元素，假設各元素之間有一種次序關系b0< b1 < b2 ...<bn。對它們進行全排列，共產生(n+1)！種不同的排列。對于產生的任一排列 c0，c1，c2，..，cn，其中第i個元素ci（1<= i <= n）與它前面的i個元素構成的逆序對的個數為di（0<= di <= i），那么我們得到一個逆序數序列d1，d2，...，dn（0 <= di<=i）。這不就是前面的n位變進制數的各個位么？于是，我們用n位變進制數M來表示該排列：
?? M = d1*1！ + d2*2！ + ... +dn*n！
因此，每個排列都可以按這種方式表示成一個n位變進制數。下面，我們來考查n位變進制數能否與n+1個元素的全排列建立起一一對應的關系。

由于n位變進制數能表示(n+1)！個不同的數，而n+1個元素的全排列剛好有(n+1)！個不同的排列，且每一個排列都已經能表示成一個n位變進制數。如果我們能夠證明任意兩個不同的排列產生兩個不同的變進制數，那么我們就可以得出結論：
★ 定理1 n+1個元素的全排列的每一個排列對應著一個不同的n位變進制數。

對于全排列的任意兩個不同的排列p0，p1，p2，...，pn（排列P）和q0，q1，q2，...，qn（排列Q），從后往前查找第一個不相同的元素，分別記為pi和qi（0< i <= n）。
（1）如果qi > pi，那么，
如果在排列Q中qi之前的元素x與qi構成逆序對，即有x > qi，則在排列P中pi之前也有相同元素x> pi（因為x > qi且qi >pi），即在排列P中pi之前的元素x也與pi構成逆序對，所以pi的逆序數大于等于qi的逆序數。又qi與pi在排列P中構成pi的逆序對，所以pi的逆序數大于qi的逆序數。
（2）同理，如果pi > qi，那么qi的逆序數大于pi的逆序數。
因此，由（1）和（2）知，排列P和排列Q對應的變進制數至少有第i位不相同，即全排列的（9php.com）任意兩個不同的（9php.com）排列具有不同的變進制數。至此，定理1得證。

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計算n個元素的一個排列的變進制數的算法大致如下（時間復雜度為O(n^2)）：
template <typename T>
size_t PermutationToNumber(const T permutation[]， int n)
{
??? //n不能太大，否則會溢出（如果size_t為32位，則n <=12）
??? size_tresult = 0;
??? for (int j =1; j < n; ++j) {
???????int count = 0;
???????for (int k = 0; k < j; ++k) {
???????????if (permutation[k] > permutation[j])
???????????????++count;
???????}
???????// factorials[j]保存著j！
???????result += count * factorials[j];
??? }

??? returnresult;
}

說明：
（1）由于n！是一個很大的數，因此一般只能用于較小的n。
（2）有了計算排列的變進制數的算法，我們就可以使用一個大小為n！的數組來保存每一個排列的狀態，使用排列的變進制數作為數組下標，從而實現狀態的快速檢索。如果只是標記狀態是否出現，則可以用一位來標記狀態。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的n数码问题，全排列的hash(转载的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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