首先，這篇文章是在講《圖論》時候寫文章

（所以，還是以理論為主，以后有空的時候，會把代碼發上來，不過我覺得大家看完理論，如果講得好，代碼也就比較容易了。如果講得不好，網上的代碼也是大把，不看這篇文章也罷了）

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任務目標：

給個起點S，找到圖中每個點距離起點S的最小距離（考慮聯通性的問題）。

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算法思路概述

先選第一個距離S最近的點。之后，更新其他圖中的點到S的距離。更新原因：新增加的最近點可以作為一個橋。

• 輸入是：點之間的距離矩陣。
• 維護是：上面矩陣中的某一行

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下圖為老師的課件內容部分，我覺得雖然詳盡，但也有些枯燥。可能是為了凝練語言吧。如果有耐心看的話，倒真的是一篇非常好的文章。
我在后面會用自己的語言闡述，可能會比較清晰（但廢話可能也比較多）。

其中前面的黃色部分是我自己標注的（老師寫的），后面的黃色部分是我自己寫的。

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闡述

首先，選定一個點$v0$，先假設所有的點到某個點的路徑都是無窮（當然自己到自己肯定得是長度是0…）。

然后確定一個集合$S$，這集合表示已經被訪問的過點。（那么沒有被訪問過的點，也是很容易解決的…），這里用個bool數組什么的標記一下吧。

之后，先更新所有點到這個$v0$的距離。怎么更新呢？

所有點通過已經被訪問過的點到達$v0$的距離，在結合$d(v0,vi)=mi{n}_{vj\in (S)}(d(v0,vj)+w(vj,vi))$ ( 一般就是新增加的那個點考慮下就好了 )。就是在中間搭一個橋，如果，通過這個橋的點會讓這個路變得更近，就更新這個路徑的長度。

然后選個最近的點，然后把這個最近的點標記訪問過。納入到集合$S$

然后，一直到把所有的點都納入進去之后，就沒什么事情了~

這里面，有很多的問題，乍一看都是有點合情合理，但是卻讓人一下子想不明白的。
歸結到一條，就是，為什么這樣子，就能保證一定會是得到了所有的點，到這個點$v0$的最短距離呢？

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證明（不嚴格的證明）

首先，我們能保證，拿到的第一個點，一定是跟$v0$最近的點。 因為，首先我們選擇的是與$v0$直接相連的點中到$v0$最近的點。如果之后的選的方法得到點，有能夠得到的點到$v0$的距離小于一開始選的這個點的話，這是不科學的。因為，我們每次選點，都是根據我們維護的一個數組。這個數組的變化過程是，以這個數組中很早就被選中的點的為中轉的點，然后，再加上這個中轉的點到這個的點的距離，來替代的。但是，我們知道，任意兩點的距離都是大于0的，那么，更新的基本算法是“加法”那么更新之后， 怎么可能得到的數是比之前的數要小呢？

同樣的道理，第二次被選的點，一定是比以后要選的點都要更近$v0$一點。（最多是相等）。有沒有一種感覺，就跟堆排序的方法是一樣的。每次，都是把距離$v0$最近的點給“生產”出來了。然后不斷迭代出所有與v0的點更近的點。

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證明（較為嚴格的證明）

通過歸納法

(1) $i=0$
首先，還是一樣，根據上面的方式，來依次產生出這些點。這是一個序列，稱其為$V=v0,v1,v2,....,vn$這n個點。$vi$對應的距離就是$di$。

(2) 設$i<=k$時成立，下面看 $i=k+1$的情況

$vi$通過上述方法生成的點，所得到的到$v0$的距離不是最近的，也就是說，還存在一條路，使得$vi$到$v0$的距離小于$di$。
由于，$di$的產生方法，我們可以知道，這樣的點，必定通過了后面的點（$v_{i>=k+2}$）。但是，我們同樣知道$v_{i>=k+2}$到$v0$的距離一定是會大于$v_{i<=k}$的。（遞增的特點）。所以，只要是通過了后面的點，到達$v0$的距離，一定是大于等于，我們只通過前面的點$v_{i<=k}$到達所致的。但是，這與我們之前的假設有矛盾。這樣我們就知道了， $i=k+1$時候也是成立的！

綜上所述…

總結

以上是生活随笔為你收集整理的迪杰斯特拉算法（Dijkstra）证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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