建立微分方程組：
$x^{\prime }=?3x+2y+5e^{?t}$
含義：左邊容器x的變化率=-流出速度X左容器中鹽的濃度+內(nèi)部流入速度X右容器中鹽的濃度+從外部流入速度X外部液體的濃度。
$y^{\prime }=3x?4y+0$
含義：右邊容器y的變化率=內(nèi)部流入速度X左容器中鹽的濃度+流出速度X右容器中鹽的濃度+從外部流入速度X外部液體的濃度。
$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=?3x+2y+5e^{?t}\\ y^{\prime }=3x?4y+0\end{array}$

矩陣化：
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}?3& 2\\ 3& ?4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}5e^{?t}\\ 0\end{array}\right]$

參數(shù)變分法求特解$x_p$：
$x_p=v_1(t)x_1+v_2(t)x_2$
和定理A類似，只不過把常數(shù)c改成了參數(shù)v
化為基本矩陣：$x_p=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1(t)\\ v_2(t)\end{array}\right]=Xv$

將特解$x_p$代入方程組$x^{\prime }=Ax+r(t)$，求出$v$：
代入得：${x_p}^{\prime }=A{x}_p+r(t)$
等式左邊：${x_p}^{\prime }={(Xv)}^{\prime }=X^{\prime }v+X{v}^{\prime }$，（乘積的求導(dǎo)公式）
等式右邊：$Ax+r(t)=AXv+r(t)$
因為X是方程組的基本矩陣，所以根據(jù)X的性質(zhì)2：$AX=X^{\prime }$
等式右邊：$Ax+r(t)=AXv+r(t)=X^{\prime }v+r(t)$
左邊=右邊：$X^{\prime }v+X{v}^{\prime }=X^{\prime }v+r(t)?X{v}^{\prime }=r(t)$
$v^{\prime }=X^{?1}r(t)$，根據(jù)X的性質(zhì)1，X存在逆矩陣
$v=\int X^{?1}r(t)dt$，$X^{?1}r(t)$是一個列向量，元素都是t的函數(shù)，只要逐個積分就算出來了。
結(jié)果：$x_p=Xv=X\int X^{?1}r(t)dt$，只要找到一個特解就行，因此不用在公式后加積分常數(shù)。

求$x^{\prime }=Ax$的通解$x_c$的部分省略了