一，對角化分解

$A=S\Lambda S^{?1}$

$S^{?1}AS=\Lambda$
A表示具有n個線性無關的x（特征向量）的矩陣
S表示由x組成的可逆方陣，稱作特征向量矩陣
$\Lambda$表示由A的λ（特征值）作為對角元素的對角矩陣
比較：A=LU（消元化分解），A=QR（正交化分解）

二，矩陣的冪公式

$A^k=S{\Lambda }^k{S}^{?1}$

$A^{k}x={\lambda }^{k}x$

A和$A^k$具有相同的特征向量
如果所有λ均滿足|λ|<1，那么當k→∞時，$A^k$→0

三，從特征值判斷矩陣是否可對角化

性質1：如果A的λ各不相同，那么A的x都線性無關，可對角化

性質2：如果A有相同的λ，那么無法確定A的x是否線性無關

如果A是單位矩陣，λ都=1，而x都線性無關
如果A是退化矩陣（上一講），λ相同，但x只有一個

四，應用：求解差分方程$u_{k+1}=A{u}_k$

前提：A可對角化

根據方程規律可導出：$u_{k+1}=A{u}_k=A^{k+1}{u}_0$

因此，方程的通解：$u_k=A^k{u}_0$

將初始條件$u_0$帶入，即可得特解:

第一步：根據上一講的方法，求出A的Λ和S
第二步：將$u_0$分解成$u_0=S{\Lambda }_u$，${\Lambda }_u$表示$u_0$特征值對角矩陣
第三步：根據已知條件S，求出${\Lambda }_u$
第四步：根據冪公式，$A^k{u}_0=S{\Lambda }^k{S}^{?1}{u}_0=S{\Lambda }^k{S}^{?1}S{\Lambda }_u=S{\Lambda }^k{\Lambda }_u$
第五步：得特解，$u_k=S{\Lambda }^k{\Lambda }_u$

五，應用：求解斐波那契數列通項公式$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$，$F_{100}$的值

第一步，建立方程組：$\{\begin{array}{c}{F}_{k+2}=F_{k+1}+F_k\\ F_{k+1}=F_{k+1}\end{array}$

第二步，化為矩陣：$\left[\begin{array}{c}{F}_{k+2}\\ F_{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$

第三步，化為標準型：$u_{k+1}=A{u}_k$

$u_{k+1}=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+2}\\ F_{k+1}\end{array}\right]$，$u_k=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$，$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

第四步，根據上一節的方法求特解$u_{99}=S{\Lambda }^{99}{\Lambda }_u$

$F_{100}$為$u_{99}$第一行的值
此例中，$\left|{\lambda }_1\right|>1$，$\left|{\lambda }_2\right|<1$，因此當k→∞時，${\lambda }_1^k\to \infty$對應的解為穩態解，${\lambda }_2^k\to 0$對應的解為暫態解

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第二十二讲 对角化分解和幂公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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