題目來源：NYOJ90

問題描述：

　　將正整數n表示成一系列正整數之和：n=n1+n2+…+nk，?其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。?正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。求正整數n的不?同劃分個數。?
　　例如正整數6有如下11種不同的劃分：?
　　　　6；?
　　　　5+1；?
　　　　4+2，4+1+1；?
　　　　3+3，3+2+1，3+1+1+1；?
　　　　2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；?
　　　　1+1+1+1+1+1。?

輸入：

　　第一行是測試數據的數目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一個整數n（1<=n<=10）。

輸出：

　　輸出每組測試數據有多少種分法。

分析：

　　對于整數劃分，相當于把正整數n寫成下面形式：

　　　　n=n1+n2+…+nk （其中n≥n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1），則{n1, n2, ……,nk}為n的一個劃分。

　　現假設n1 <= m，即：{n1, n2, ……,nk}中最大的數不超過m，則稱{n1, n2, ……,nk}是n的一個m上限劃分。記n的m上限劃分為f(n,m)。因此，此題的解便是f(n,n)。對于f(n,m)，分析可得下面的遞推關系式：

　　1、當n = 1時，f(n,m)=1。即1只有{1}這一種劃分。

　　2、當m = 1時，f(n,m)=1。即此時只有{1, 1,……,1}（共n個1）這一種劃分。

　　3、當m = n時，f(n,m) = f(n,n) = f(n, n-1) + 1。其中"+1"對應的就是{n}這種劃分，其他的劃分中，必定所有數都小于n。

　　4、當m > n時， f(n,m) = f(n,n)，因為n的劃分中不可能存在大于n的數。

　　5、當m < n時， f(n,m) = f(n-m, m) + f(n, m-1)。其中f(n-m,m)表示包含m的劃分，f(n,m-1)表示不包含m的劃分。

代碼：

　　根據上面的遞推式，同樣可以寫出遞歸和遞推的代碼。

　　遞歸代碼仍然存在重復計算，時間代價大。

　　遞推代碼就是計算f(1,1)到f(n,n)的過程，所以時間和空間復雜度都是O(n^2)，而且由于f(n,m)是和f(n-m,m)、f(n,m-1)，所以不太適合進行空間復雜度的優化。

　　代碼見github:整數劃分1

轉載于:https://www.cnblogs.com/DwyaneTalk/p/4617057.html

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總結

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