這道題是說，100層樓，兩個(gè)一模一樣的雞蛋，某層之上扔雞蛋就會(huì)碎。問要測試多少次才能找出這層樓來。我曾經(jīng)在去年初的這篇文章里面討論過這個(gè)問題的解法，因?yàn)橹幌胗涗浺幌滤悸泛陀懻撨^程，寫得很簡略。現(xiàn)在，我想重新整理一下這個(gè)問題，再稍稍擴(kuò)展和挖掘一下。希望可以用盡可能清晰易懂的描述，把這個(gè)問題的前后說清楚。

現(xiàn)在只有兩個(gè)雞蛋，而算法必須是可行的，就是說要能找出這一層來，所以你得假設(shè)你的運(yùn)氣最差，這就意味著，我求解的是在每種扔雞蛋的策略下都有一個(gè)需要扔的次數(shù)的最大值，而現(xiàn)在需要求解的是這些最大值中的最小值的問題。如果我只有一枚雞蛋，這就意味著，我只能從第一層開始老老實(shí)實(shí)地一層一層往上試，不能越層；而我的運(yùn)氣非常非常差，于是我這樣試驗(yàn)的結(jié)果就是一直試驗(yàn)到最高一層雞蛋依然沒破，試驗(yàn)的次數(shù)就等于樓層數(shù)N。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解

現(xiàn)在，我有兩枚雞蛋，第一枚雞蛋從哪一層樓開始扔就顯得至關(guān)重要了。如果第一枚雞蛋碎了，那就回到剛說的只有一枚雞蛋的問題了。我相信很多人立即映射到腦子里的詞是“二分法”，也就是說，第一枚雞蛋從N/2開始扔，如果碎了，扔的樓層數(shù)就是N/2（注意取整）；如果沒碎，剩下N/2樓層里繼續(xù)用二分法。可以預(yù)計(jì)，如果沒碎的情況，扔雞蛋的總次數(shù)要小于N/2。也就意味著，還有潛力可挖，如果不用二分法，讓扔第一枚雞蛋的樓層數(shù)為x，它小于N/2；同時(shí)如果第一枚雞蛋沒碎，接下去的策略，在運(yùn)氣最差的情況下仍然讓扔的次數(shù)等于x，就最經(jīng)濟(jì)了。

最常規(guī)的解法是動(dòng)態(tài)規(guī)劃。可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解的問題必須滿足這樣的條件，分割成的子問題是最優(yōu)解的時(shí)候，原問題也是最優(yōu)解。顯然這個(gè)問題滿足這一點(diǎn)：假設(shè)扔的總次數(shù)為f(x)，在第一次扔碎了的情況下，接下去只能一層一層試驗(yàn)，最多從第1層到第x-1層需要試驗(yàn)x-1次，加上扔第一個(gè)雞蛋那一次，總的次數(shù)就是(x-1)+1=x；在第一次沒碎的情況下，就相當(dāng)于一個(gè)新的相似子問題：在N-x層中尋找新的扔雞蛋次數(shù)f(N-x)，因此總次數(shù)就是f(N-x)+1。那么：

f(x)=max(x, f(N-x)+1)

同時(shí)，遞歸求解的出口是：當(dāng)x=1，f(x)=1。所以，算法大致如下：

// times[i]表示N取值為i的時(shí)候，需要扔多少次private static int[] times;public static int dropEgg(int N) {// 初始化數(shù)組times = new int[N + 1];return dp(N);}private static int dp(int N) {// 兩層樓或一層樓就沒有計(jì)算的必要了if (1 == N)return 1;else if (2 == N)return 2;for (int x = 2; x < N; x++) {int max = maxTimes(N, x);if (0 == times[N] || times[N] > max)times[N] = max;}return times[N];}// 碎和不碎的次數(shù)最大值private static int maxTimes(int N, int x) {int sum = dp(N - x) + 1;if (x < sum)return sum;elsereturn x;}

“兩個(gè)雞蛋”到“m個(gè)雞蛋”

現(xiàn)在把問題擴(kuò)展一下，由兩個(gè)雞蛋擴(kuò)展到m個(gè)雞蛋，times數(shù)組第一維表示最多可以扔幾次，第二維表示扔第幾次：

public static int dropEgg(int N, int m) {// 初始化數(shù)組times = new int[m + 1][N + 1];return dp(N, m);}private static int dp(int N, int m) {if (1 == m || 1 == N || 2 == N)return N;for (int time = 2; time <= m; time++)for (int x = 2; x < N; x++) {int max = maxTimes(N, x, time);if (0 == times[time][N] || times[time][N] > max)times[time][N] = max;}return times[m][N];}// 碎和不碎的次數(shù)最大值private static int maxTimes(int N, int x, int m) {int sum = dp(N - x, m) + 1;if (x < sum)return sum;elsereturn x;}

尋找規(guī)律

還是回到兩個(gè)雞蛋，隨著N的值改變，可以發(fā)現(xiàn)x呈現(xiàn)這樣的變化：

N=1, x=1?
N=2, x=2?
N=3, x=2?
N=4, x=3?
N=5, x=3?
N=6, x=3?
N=7, x=4?
N=8, x=4?
N=9, x=4?
N=10, x=4?
N=11, x=5?
N=12, x=5?
N=13, x=5?
N=14, x=5?
N=15, x=5?
N=16, x=6?
N=17, x=6?
N=18, x=6?
N=19, x=6?
N=20, x=6?
N=21, x=6?
……

換言之，x=1的有1項(xiàng)，x=2的有2項(xiàng)，x=3的有3項(xiàng)……網(wǎng)上最多的問法是當(dāng)N=100的時(shí)候，x是多少，根據(jù)這個(gè)規(guī)律：

(1+x)*x/2>=100

得知x的最小值是14。

下面來證明一下這個(gè)猜想：

因?yàn)楫?dāng)扔雞蛋的最小次數(shù)為x的時(shí)候，第一次從x層開始扔，如果碎了，那么接下去就要扔x-1次；如果沒碎，接下去就變成了扔雞蛋最小次數(shù)為x-1的子問題了，此時(shí)再扔的樓層數(shù)變成了x+(x-1)，在這種情況下碎和不碎兩種情況下需要再扔的次數(shù)是相等的，已經(jīng)是最經(jīng)濟(jì)的扔法了，繼續(xù)之，可以得到，扔雞蛋最小次數(shù)為x的時(shí)候，最高可以檢測到的樓層數(shù)為：

x+(x-1)+(x-2)+……+1

正好是一個(gè)等差數(shù)列求和的公式。

這也是為什么，我們可以從網(wǎng)上找到的扔雞蛋問題，好多都是N等于15、21、28、36這樣的數(shù)，這正好等于這個(gè)等差數(shù)列和。

現(xiàn)在把問題稍稍轉(zhuǎn)變一下，把雞蛋數(shù)量的限制去掉，再把求爬樓梯的限制加上，不妨再來求解：

如果雞蛋數(shù)量無限，但是假如說扔一次雞蛋需要耗費(fèi)力氣a，每爬一層樓（無論向上還是向下）需要耗費(fèi)力氣b，現(xiàn)在用怎樣的扔雞蛋策略，可以讓耗費(fèi)的總力氣量最小？

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Google仍鸡蛋[DP]的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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