UA MATH524 復變函數13 奇點與留數

• • 零點的階
  • 孤立奇點
  • 留數

零點的階

假設$f$滿足
$$\begin{gathered} f^{(k)}(z_0)=0,k=0,1,?,m?1 \\ {f}^{(m)}(z_0)=0 \end{gathered}$$

稱$z_0$是$f$的$m$階零點。

如果$z_0\in D$，$f$在$D$上為全純函數，則在$D$上$f$存在冪級數展開，
$$f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(z?z_0{)}^k$$

根據$m$階零點的定義可得
$$\begin{gathered} a_k=0,k=0,1,?,m?1 \\ {a}_m=0 \end{gathered}$$

定義
$$g(z)=\frac{f(z)}{(z?z_0{)}^m}$$

則$g(z)=a_m+a_{m+1}(z?z_0)+?$，顯然$g(z)$在$D$上也是全純函數，并且$g(z_0)=0$。

孤立奇點

先引入幾個集合的定義，
$$\begin{gathered} \text{open?disk}:B(z_0,r)=\{z:|z?z_0|<r\} \\ \text{closed?disk}:\bar{B}(z_0,r)=\{z:|z?z_0|\le r\} \\ \text{punctured?disk}:\stackrel{°}{B}(z_0,r)=\{z:0<|z?z_0|<r\} \\ \text{annulus}:B(z_0,R)?\bar{B}(z_0,r)=\{z:r<|z?z_0|<R\} \end{gathered}$$

假設$f$為$D$上的全純函數，稱$z_0\in D$是$f$的一個孤立奇點，如果$?r>0$，$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上解析。

評注 孤立奇點（isolated singularity）的定義要與本性奇點（essential singularity）區分一下。稱$z_0$為$f$的本性奇點，如果$f$在$z_0$處的極限不存在。這里用三個例子幫助大家理解孤立奇點與本性奇點的區別。

函數$z_0$為本性奇點$z_0$為孤立奇點

$\frac{z^2?z_0^2}{z?z_0}$	否	是
$7(z?z_0{)}^{?4}$	是	是
$\exp ((z?z_0{)}^{?1})$	是	是

從孤立奇點的定義以及這三個例子，我們可以簡單總結處函數在趨近于其孤立奇點時的行為：

${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|<\infty$

${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|=\infty$

${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|$不存在

第一種奇點被稱為可移除的奇點(removable singularity)，因為${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|<\infty$，所以令$g(z)=(z?z_0{)}^{2}f(z),?z\in \stackrel{°}{B}(z_0,r)$，$g(z_0)=0$，則
$$\frac{g(z)?g(z_0)}{z?z_0}=(z?z_0)f(z)\to 0?f(z_0)=0,\text{as}z\to z_0$$

考慮$g(z)$的冪級數展開：
$$g(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{b}_n(z?z_0{)}^n$$

根據$g(z)$的構造，$z_0$是$g(z)$的零點，且至少是2階零點，因此$b_0=b_1=0$，于是$f(z)$的冪級數展開為
$$f(z)=b_2+b_3(z?z_0)+b_4(z?z_0{)}^2+?$$

并且$f(z_0)=b_2<\infty$。經過上述操作，可以發現這種奇點對函數的局部性質確實沒有什么影響，因此被稱為可移除的奇點。

第二種奇點被稱為pole，假設$f$在$z_0$處滿足${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|=\infty$，并且$|f(z)|>1,?z\in \stackrel{°}{B}(z_0,r)$，則$g(z)=\frac{1}{f(z)}$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上解析，且$g(z)$有界，$|g(z)|\le 1$，于是$z_0$對于$g(z)$而言就是一個可移除的奇點，假設$z_0$作為零點的階為$m$，則
$$g(z)=(z?z_0{)}^{m}h(z)$$

$h$在$B(z_0,r)$上解析，且$h(z_0)=0$，令$H(z)=\frac{1}{h(z)}$，則$H(z)$在$B(z_0,r)$上解析，綜上，
$$f(z)=\frac{1}{g(z)}=\frac{H(z)}{(z?z_0{)}^m}$$

也就是說有第二種奇點的函數在局部都可以寫成全純函數$H(z)$與$\frac{1}{(z?z_0{)}^m}$乘積的形式，稱$z_0$為$f$的$m$階pole。

上述第三類孤立奇點就是本性奇點。這里簡單介紹一個本性奇點的性質：假設$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上為全純函數，并且$z_0$為$f$的本性奇點，$w$是一個任意復數，則
$$g(z)=\frac{1}{f(z)?w}$$

在$?0<?<r,\stackrel{°}{B}(z_0,?)$上無界。

留數

假設$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上解析，則
$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}f(w)dw,0<s<r$$

這個積分與$s$無關。這個結論非常容易驗證，以下圖示意，考慮$0<s_1<s_2<r$，則沿著$|w?z_0|=s_1$與$|w?z_0|=s_2$的積分之差等于下圖中加了箭頭的幾段線段的積分之和，根據對稱性，這幾段積分之和為0，因此上述積分與$s$無關。

除了$s$外，上述積分只與$z_0$有關，因此我們將其定義為$f$在$z_0$處的留數（residue），
$$Res(f;z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}f(w)dw$$

這個公式的形式與Cauchy公式很像，但Cauchy公式要求$f$在$|w?z_0|=s$圍成區域內（包含$z_0$）解析，而留數并不要求$f$在$z_0$處解析，所以留數的含義更具有一般性。

當$f$在$z_0$處解析或者$f$在$z_0$處滿足${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|<\infty$時，根據Cauchy公式，
$$Res(f;z_0)=f(z_0)$$

當$z_0$是$f$的$m$階pole時，則存在$B(z_0,r)$上的全純函數$H(z)$，冪級數為${\sum }_{n=0}^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^n$，滿足
$$f(z)=\frac{H(z)}{(z?z_0{)}^m}=\sum _{n=?m}^{+\infty }{c}_{n+m}(z?z_0{)}^n$$

用Cauchy公式計算
$$\begin{gathered} \frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}(w?z_0{)}^{n}dw=0,n=?1 \\ \frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}\frac{1}{w?z_0}dw=1 \end{gathered}$$

所以
$$Res(f;z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}\sum _{n=?m}^{+\infty }{c}_{n+m}(z?z_0{)}^{n}dw=c_{m?1}=\frac{H^{(m?1)}(z_0)}{(m?1)!}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH524 复变函数13 奇点与留数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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