UA OPTI501 電磁波 Lorentz Oscillator Model 3 相速度與群速度

• • 相速度與群速度的概念
  • 群速度的推導
  • 例：透明介電材料中綠光傳播的群速度與相速度

在Lorentz Oscillator Model中，susceptiblility $\chi$與電磁波角頻率$w$之間依存性的一個直接后果就是在介質中傳播時，電磁波的相速度(phase-velocity, $V_{?}$)與群速度(group-velocity, $V_g$)不一致。這一講介紹用Lorentz模型分析電磁波在介質中傳播的相速度與群速度，并簡單討論它們的差異。

相速度與群速度的概念

相速度的定義為
$$V_{?}=\frac{c}{n(w)},n(w)=\sqrt{{?}_r(w)}=\sqrt{1+{\chi }_e(w)}$$

其中$c$是光在真空中的傳播速度，$n(w)$是介質的折射率（實際上$n(w)=\sqrt{\mu (w)?(w)}$，也就是磁化率與介電常數乘積再開方，但為了簡單起見，在Lorentz模型中假設$\mu (w)=1$），${?}_r$是介質的相對介電常數，${\chi }_e$是介質的極化系數；這個速度代表相位在介質中的傳播速度，比如一個簡諧波為$y=\sin \pi x$，$x=1/2$對應的相位為$\pi /2$，如果相速度為5，那么單位時間后，相位為$\pi /2$的點就到了$x=11/2$。

群速度的公式更加復雜，但它的含義非常簡單，就是波包的包絡的傳播速度。如下圖，分布在$x=0$上的球面波波源，假設它在分布在$x\ge 0$的區域中的介質中的群速度為1，那么1個單位時間后，波前如下圖中的黑色半圓所示，波包的包絡到達紅線$x=1$的位置；2個單位時間后，波包的包絡到達紅線$x=2$的位置。

群速度的推導

考慮幅度相同角頻率不同的電場的疊加，假設這兩個電場沿$\hat{x}$方向傳播，偏振方向為$\hat{y}$，它們的角頻率分別為$w_1,w_2$，波向量分別為
$${\text{k}}_1=k_1\hat{x}=\frac{w_1}{c}n(w_1)\hat{x},{\text{k}}_2=k_2\hat{x}=\frac{w_2}{c}n(w_2)\hat{x}$$

因此，疊加后的電場為
$$\text{E}=E_0\hat{y}[\cos (k_{1}x?w_{1}t)+\cos (k_2{w}_2?w_{2}t)]$$

引入
$$w_c=\frac{w_2?w_1}{2},\Delta w=w_2?w_1$$

用和差化積公式，
$$\begin{gathered} \text{E}=2E_0\hat{y}\cos ([w_{1}n(w_1)?w_{2}n(w_2)](\frac{x}{2c}?\frac{1}{2}\Delta wt)) \\ \times \cos ([w_{1}n(w_1)+w_{2}n(w_2)](\frac{x}{2c}?w_{c}t)) \end{gathered}$$

假設$\Delta w$足夠小，則
$$\begin{gathered} w_{1}n(w_1)+w_{2}n(w_2)\approx 2w_{c}n(w_c) \\ \frac{w_{1}n(w_1)?w_{2}n(w_2)}{\Delta w}\approx {\frac{dwn(w)}{dw}|}_{w=w_c} \end{gathered}$$

定義group refractive index，群折射率為
$$n_g(w_c)={\frac{dwn(w)}{dw}|}_{w=w_c}$$

因此群速度為
$$V_g=\frac{c}{n_g}$$

顯然當$n(w)$為常數時，$V_g=V_{?}$。電場疊加的結果為

評注 在Lorentz模型中計算群速度，主要要做的事情就是寫出$n(w)$的公式然后求導得到$n_g$，比如在單電子的Lorentz模型中，

例：透明介電材料中綠光傳播的群速度與相速度

介電材料(dielectric material)指的是可以被電極化的絕緣體，假設某種介電材料的介電常數為
$$?(w)=1+\frac{w_p^2}{w_0^2?w^2?i\gamma w}$$

其中$w_0=8\times 10^{15}rad/s,w_p=1.2\times 10^{16}rad/s,\gamma =10^{13}{s}^{?1}$，一束波長為${\lambda }_0=540nm$（$w=3.5\times 10^{15}rad/s$）的綠光射入這個材料中，要求綠光的相速度與群速度。

相速度可以直接帶公式，

群速度可以帶上面評注里提到的公式，

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總結

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