UA OPTI512R 傅立葉光學導論8 多元脈沖函數

• • 可分離變量的函數
  • rect函數
  • sinc函數
  • gaus函數
  • 2-D Dirac函數
  • Cylinder Function
  • Sombrero Function
  • 極坐標中的2-D Dirac函數

第五、六講介紹了一元的常用impulse-like functions以及Dirac函數，這一講介紹多元的impulse-like functions。

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可分離變量的函數

稱函數是可分離變量型的如果
$$f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$$

需要注意的是在一個坐標系下可分離變量的函數經過坐標變換到另一個坐標系后可能就不能分離變量了。脈沖型函數大部分都被定義成可分離變量型的，可以借助這個性質把一元的脈沖型函數推廣到多元。

rect函數

$$rect\left(\frac{x?x_0}{b},\frac{y?y_0}{d}\right)=rect\left(\frac{x?x_0}{b}\right)rect\left(\frac{y?y_0}{d}\right)$$

sinc函數

$$sinc\left(\frac{x?x_0}{b},\frac{y?y_0}{d}\right)=sinc\left(\frac{x?x_0}{b}\right)sinc\left(\frac{y?y_0}{d}\right)$$

gaus函數

$$Gaus\left(\frac{x?x_0}{b},\frac{y?y_0}{d}\right)=Gaus\left(\frac{x?x_0}{b}\right)Gaus\left(\frac{y?y_0}{d}\right)$$

2-D Dirac函數

$$\delta (x?x_0,y?y_0)=\delta (x?x_0)\delta (y?y_0)$$

同樣具有sifting property：
$${\int }_{y_1}^{y_2}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x,y)\delta (x?x_0,y?y_0)dxdy=f(x_0,y_0){\chi }_{(x_1,x_2)\times (y_1,y_2)}(x_0,y_0)$$

需要注意一元Dirac函數對多元函數的篩選作用只對對應的坐標有效：
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x?x_0)f(x,y)dx=f(x_0,y)$$

它的作用是把$f(x,y)$投影到$x=x_0$上。了解到這點后即使是遇到下面這種積分也能一眼看出來
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x?y)f(x,y)dx=f(y,y)$$

這個積分的作用就是把$f(x,y)$投影到$x=y$上。

Cylinder Function

cylinder函數定義在極坐標$(r,\theta )$中，它與直角坐標的關系是
$$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta =\arctan (y/x)$$或者$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

定義
$$cyl(r)=?\begin{array}{l}0,r>1/2\\ 1/2,r=1/2\\ 1,r<1/2\end{array}$$

它的形狀就是一個圓柱體

Sombrero Function

這個函數也定義在極坐標系中，
$$Somb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r}$$其中$J_1$是一階第一類Bessel函數，它長下面這樣，形狀很像sinc函數繞$y$軸轉一周的樣子。

極坐標中的2-D Dirac函數

$$\begin{gathered} \delta (x?x_0,y?y_0)=\frac{\delta (r?r_0)\delta (\theta ?{\theta }_0)}{r_0} \\ {r}_0=\sqrt{x_0^2+y_0^2},{\theta }_0=\arctan (y_0/x_0) \end{gathered}$$

總結

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