UA OPTI501 電磁波4 電介質(zhì)及其極化

組成物質(zhì)的原子與分子都是由帶負電的電子與帶正電的原子核組成，整個分子中電荷的代數(shù)和為0，但是電荷集中在電子與原子核上，相比整個分子的尺度而言，電荷的分布并不集中，類比重心的概念，我們可以找到分子所有負電荷的“重心”與所有正電荷的“重心”，如果二者正好重合，這類分子就叫無極分子（通常對稱的分子都是無極的，比如$H_2$, $CC{l}_4$）；如果二者沒有重合，這類分子就叫有極分子（一般不對稱的分子就是有極的，比如$H_{2}O$, $HCl$）。

有極分子因為正電荷與負電荷的“重心”是錯開的，所有分子內(nèi)存在固有電矩，比如水分子。當存在外部電場時，正電荷的“重心”傾向于順著電場線方向移動，負電荷的“重心”傾向于逆著電場線方向移動，從而產(chǎn)生會抵消外部電場的電矩，這種極化方式被稱為取向極化，假設正電荷與負電荷等效“重心”距離為$d$，則水分子的電矩為$P=2ed$，單位是$C?m$，方向是從正電荷的“重心”指向負電荷的“重心”。

無極分子沒有固有電矩，但在外部電場的作用下，由于電子質(zhì)量遠小于原子核，負電荷的“重心”傾向于逆著電場線方向移動，導致正電荷與負電荷的“重心”不再重合，在分子內(nèi)形成電矩，這種極化方式是位移極化。

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假設在$\Delta V$的體積中有$n$個分子，第$i$個分子的電矩為${\text{p}}_i$，定義電極化強度矢量為
$$\text{P}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\text{p}}_i}{\Delta V}$$

用來度量電介質(zhì)的極化強度與極化方向，單位是$C?m^{?2}$。電極化強度矢量與外部電場之間的關系是
$$\text{P}={\chi }_e{?}_0\text{E}$$

其中${?}_0$在上一講介紹過了，是真空中的介電常數(shù)(permittivity in free space)，單位是$farad/m$，另一個參數(shù)${\chi }_e$被稱為電極化率（electric susceptibility），它是一個以三維空間為底的二階張量，可以用$3\times 3$的矩陣表示，$\text{P}$的單位是$C?m^{?2}=farad?volt?m^{?2}$，${?}_0\text{E}$的單位是$(farad/m)?(volt/m)$，所以電極化律是無量綱的參數(shù)。如果${\chi }_e$與$\text{E}$無關，稱這樣的介質(zhì)為線性介質(zhì)(linear material)；如果${\chi }_e$是對角元相等的對角矩陣，稱這樣的介質(zhì)為各向同性介質(zhì)(isometric material)；如果${\chi }_e$與介質(zhì)的本征坐標與無關，稱這樣的介質(zhì)為同質(zhì)介質(zhì)(homogeneous material)。

因為在外部電場作用下，實際的電場是外部電場被電極化強度的抵消后的結果，定義電位移矢量（或者電感應強度矢量）$\text{D}$滿足
$$\begin{array}{rl}\text{D}& ={?}_0\text{E}+\text{P}\\ & ={?}_0\text{E}+{\chi }_e{?}_0\text{E}\\ & ={?}_0(1+{\chi }_e)\text{E}\end{array}$$

定義${?}_r=1+{\chi }_e$為介質(zhì)的相對介電常數(shù)（無量綱），記$?={?}_r{?}_0$，這是介質(zhì)的介電常數(shù)，從而$$\text{D}={?}_r{?}_0\text{E}=?\text{E}$$

如果介質(zhì)是LIH的（linear，isometric，homogeneous），則$?$是常數(shù)。

取高斯面$S$，電極化強度的通量與高斯面內(nèi)極化電荷之和：
$${\oint }_S\text{P}?d\text{a}+\sum q_{極化}=0$$

根據(jù)高斯定律，
$$\begin{gathered} {\oint }_S\text{E}?d\text{a}=\frac{1}{{?}_0}\sum (q?q_{極化}) \\ {\oint }_S\left({?}_0\text{E}+\text{P}\right)?d\text{a}=\sum q \end{gathered}$$

所以電位移矢量滿足
$${\oint }_S\text{D}?d\text{a}=\sum q$$

由此也可以得到微分形式：
$$??\text{D}=\underset{V\to 0}{\lim }\frac{1}{V}{\oint }_S\text{D}?d\text{a}=\underset{V\to 0}{\lim }\frac{\sum q}{V}=\rho$$

這里$V$表示高斯面圍成的體積。

總結

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