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物理光学1 波动方程与基础波函数

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 37 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了物理光学1 波动方程与基础波函数小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

物理光學(xué)1 波動(dòng)方程與基礎(chǔ)波函數(shù)

- 波動(dòng)方程與基礎(chǔ)波函數(shù)
- 基礎(chǔ)波函數(shù)的復(fù)數(shù)表示

光是一種電磁波，所以在介紹物理光學(xué)前我們先回顧一下電磁波的內(nèi)容。波的物理含義是場(chǎng)的空間分布隨時(shí)間變化的現(xiàn)象，因此電磁波也就是電磁場(chǎng)在空間中的分布隨著時(shí)間變化的物理現(xiàn)象。通常用 $ψ(x,t)\psi(\textbf x,t)$ 表示波函數(shù)，其中 $x\textbf x$ 表示空間坐標(biāo)， $t$ 表示時(shí)間， $ψ\psi$ 表示某個(gè)場(chǎng)。

波動(dòng)方程與基礎(chǔ)波函數(shù)

如果 $ψ(x,0)=f(x)\psi(\textbf x,0)=f(\textbf x)$ ，場(chǎng)的傳播速度為 $v\textbf v$ （常向量），則經(jīng)過(guò) $t$ 的時(shí)間后，位于 $x\textbf x$ 處的場(chǎng)已經(jīng)變成了 $f(x?vt)f(\textbf x-\textbf v t)$ ，也就是
$ψ(x,t)=f(x?vt)\psi(\textbf x,t)=f(\textbf x - \textbf v t)$

不難發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足這個(gè)式子的波函數(shù)也滿(mǎn)足
$(Δ?1∣v∣2?2?t2)ψ=0\left( \Delta -\frac{1}{|\textbf v|^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\psi=0$

稱(chēng)這個(gè)方程為波動(dòng)方程， $∣v∣|\textbf v|$ 為波速，其中 $Δ\Delta$ 是Laplace算子，
$Δ=?2?x2+?2?y2+?2?z2\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

因此稱(chēng) $f(x±vt)f(\textbf x \pm \textbf v t)$ 為波動(dòng)方程的通解。下面的波動(dòng)函數(shù)被稱(chēng)為基本波動(dòng)函數(shù)(fundamental wave function)是
$ψ(x,t)=Acos?(k?x?wt)\psi(\textbf x,t)=A\cos (\textbf k \cdot \textbf x-wt)$

其中 $A$ 是幅度(amplitude)， $k\textbf k$ 被稱(chēng)為波向量(wave vector)，它的長(zhǎng)度 $∣k∣|\textbf k|$ 被稱(chēng)為波數(shù)(wave number)，方向就是波的傳播方向， $w$ 是角頻率(angular frequency)， $k?x?wt\textbf k \cdot \textbf x-wt$ 被稱(chēng)為相位(phase)，波速(wave velocity)滿(mǎn)足 $∣v∣=w/∣k∣|\textbf v|=w/|\textbf k|$ 。之所以稱(chēng)這個(gè)波函數(shù)為基礎(chǔ)波函數(shù)是因?yàn)樗荈ourier級(jí)數(shù)的基本項(xiàng)，任何函數(shù)的Fourier展開(kāi)都可以用相應(yīng)的Fourier基本項(xiàng)表示，因此這種形式的波函數(shù)被稱(chēng)為基礎(chǔ)波函數(shù)。

下面簡(jiǎn)單介紹一下 $k\textbf k$ 與 $w$ 的物理含義?；A(chǔ)波函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期是 $2π2\pi$ ，先暫時(shí)用 $λ,T\lambda,T$ 來(lái)表示基礎(chǔ)波函數(shù)的空間周期(spatial period)與時(shí)間周期(time period)，為簡(jiǎn)化討論，我們只關(guān)注波在 $z$ 方向的傳播：
$ψ(z,t)=Acos?(kzz?wt)\psi(z,t)=A\cos(k_zz-wt)$

則空間周期與時(shí)間周期使得
$ψ(z+S,t)=ψ(z,t)ψ(z,t+T)=ψ(z,t)\psi(z+S,t)=\psi(z,t) \\ \psi(z,t+T)=\psi(z,t)$

顯然第一個(gè)方程說(shuō)明 $λ\lambda$ 是波長(zhǎng)，第二個(gè)方程說(shuō)明 $T$ 是周期；將余弦波函數(shù)的形式代入以上兩個(gè)方程可以得到
$kz=2πλ,w=2πTk_z = \frac{2\pi}{\lambda}, w = \frac{2\pi}{T}$

其中 $w$ 的含義很容易得到，它的單位是 $r a d / s$ 或者 $1 / s = H z$ ，代表相位的角速度或者說(shuō)角頻率； $k_z$ 的單位是 $r a d / m$ ，也就是在單位空間內(nèi)，相位轉(zhuǎn)過(guò)的角度（以 $2π2\pi$ 為一段完整的波， $k\textbf k$ 的大小正好可以表示單位空間內(nèi)，完整的波的數(shù)目，因此 $∣k∣|\textbf k|$ 被稱(chēng)為波數(shù)）。因此
$∣v∣=w∣k∣=λT=λν|\textbf v| = \frac{w}{|\textbf k|} = \frac{\lambda}{T}=\lambda \nu$

也就是波速等于波長(zhǎng)除以周期或者波長(zhǎng)乘以頻率，這個(gè)就是我們非常熟悉的波動(dòng)關(guān)系式了。

然后我們?cè)儆懻撘幌孪辔?#xff0c;記 $?=k?x?wt\phi=\textbf k \cdot \textbf x-wt$ ，顯然
$\phi = \textbf k \cdot d \textbf x - w dt$

在波的某一個(gè)相位上觀察這個(gè)時(shí)空，時(shí)空的變換滿(mǎn)足，
$d?=k?dx?wdt=0dx?k^dt=w∣k∣=∣v∣d \phi =\textbf k \cdot d \textbf x - wdt = 0 \\ \frac{d \textbf x \cdot \hat k}{dt}=\frac{w}{|\textbf k|}=|\textbf v|$

其中 $k^\hat k$ 表示 $k\textbf k$ 的單位向量， $dx?k^dt\frac{d \textbf x \cdot \hat k}{dt}$ 表示相位不變時(shí)場(chǎng)的空間分布沿波的傳播方向的變化速度，它就是上文中我們對(duì)波速的定義，因此從這個(gè)推導(dǎo)來(lái)看，波速更準(zhǔn)確的含義是波前的傳播速度（propagating velocity of wavefront）。這里再補(bǔ)充一下波前(wavefront)的概念，波前表示空間中同一時(shí)間下具有相同相位的那些點(diǎn)的集合。假設(shè) $?1=?2\phi_1=\phi_2$ ，即 $k?x1?wt=k?x2?wtk?(x1?x2)=0\textbf k \cdot \textbf x_1 - wt = \textbf k \cdot \textbf x_2 - wt \\ \textbf k \cdot (\textbf x_1 - \textbf x_2) = 0$

也就是說(shuō)波前中連接任意兩點(diǎn)的向量與波向量正交，因此波前就是 $k\textbf k$ 的法平面，稱(chēng)這樣的波為平面波(plane wave)。

基礎(chǔ)波函數(shù)的復(fù)數(shù)表示

回顧歐拉公式
$eiθ=cos?θ+isin?θe^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$

于是余弦形式的基礎(chǔ)波函數(shù)可以用復(fù)指數(shù)的實(shí)部表示，這樣做的好處是避免了要經(jīng)常查三角函數(shù)的公式（我覺(jué)得大概可能是這樣吧，和差化積積化和差倍角半角什么的我確實(shí)現(xiàn)在已經(jīng)記不住了。。。）

于是
$ψ(x,t)=Acos?(k?x?wt)=Re[Aei(k?x?wt)]\psi(\textbf x,t)=A\cos (\textbf k \cdot \textbf x-wt) \\ =Re[Ae^{i(\textbf k \cdot \textbf x - wt)}]$

在運(yùn)算時(shí)可以直接用復(fù)指數(shù)運(yùn)算，需要波函數(shù)的形式的時(shí)候取運(yùn)算結(jié)果的實(shí)部即可。因此我們直接用
$ψ(x,t)=Aei(k?x?wt)\psi(\textbf x,t)=Ae^{i(\textbf k \cdot \textbf x - wt)}$ 作為基礎(chǔ)波函數(shù)的復(fù)數(shù)表示。但是需要注意
$\ne Re[a]Re[b]$

比如
$a=Acos?(wt+α),b=Bcos?(wt+β)a=A\cos(wt+\alpha),b=B\cos (wt+\beta)$

則用積化和差公式
$\frac{1}{2}AB[\cos(2wt+\alpha+\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$

但如果用復(fù)數(shù)計(jì)算
$Re[Ae^{i(wt+\alpha)}Be^{i(wt+\beta)}]=AB\cos(2wt+\alpha+\beta)$

這就與真實(shí)結(jié)果不相等了。不過(guò)幸好在光學(xué)中，特別是在研究可見(jiàn)光的時(shí)候，因?yàn)榭梢?jiàn)光的周期非常小，遠(yuǎn)小于測(cè)量?jī)x器的周期( $τ\tau$ ，且 $T<<τT<<\tau$ )，因此我們觀測(cè)到的光信號(hào)實(shí)際上是光波在儀器的一個(gè)測(cè)量周期內(nèi)的平均值
$?ab?=1τ∫0τabdt=12ABcos?(α+β)=Re[12AeiαBe?iβ]=12Re[ab?]\langle ab \rangle = \frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}ab dt = \frac{1}{2}AB \cos(\alpha+\beta) \\ = Re[\frac{1}{2}Ae^{i\alpha}Be^{-i\beta}]=\frac{1}{2}Re[ab^*]$

其中 $b^*$ 代表 $b$ 的共軛(conjugate)，因此在波函數(shù)的運(yùn)算中，復(fù)數(shù)表示下的乘法用 $12Re[ab?]\frac{1}{2}Re[ab^*]$ 來(lái)做。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的物理光学1 波动方程与基础波函数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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