UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射2 電磁波的能量

在討論電磁場(chǎng)的能量時(shí)，我們引入了Poynting矢量，為了描述波動(dòng)，我們把電場(chǎng)與磁場(chǎng)描述為時(shí)空的復(fù)變函數(shù)，因此Poynting矢量也需要做一些修正：
$$S=\frac{c}{8\pi }E\times H^{?}$$

$H^{?}$表示mangetic field的共軛，這里用magnetic field而不是magnetic induction是因?yàn)楸苊庠诠街幸虢殡姵?shù)和磁導(dǎo)率，因?yàn)檫@兩個(gè)值受介質(zhì)屬性的影響，在某些介質(zhì)中可能是關(guān)于空間的函數(shù)，推導(dǎo)微分公式的時(shí)候也就需要把介電常數(shù)與磁導(dǎo)率也考慮進(jìn)來(lái)，因此為了規(guī)避這些操作，讓公式更簡(jiǎn)便，用magnetic field會(huì)更方便。下面展開Poynting矢量
$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}\frac{c}{4\pi }[(E_{o,Re}\times H_{0,Re}+E_{o,Im}\times H_{0,Im}) \\ +i(E_{o,Im}\times H_{0,Re}?E_{o,Re}\times H_{0,Im})] \end{gathered}$$

于是
$$Re[S]=\frac{c}{8\pi }(E_{o,Re}\times H_{0,Re}+E_{o,Im}\times H_{0,Im})$$

在非導(dǎo)體介質(zhì)中，$M=0$，
$$H=\frac{1}{\mu }B$$

上一講推導(dǎo)了
$$B_0=\sqrt{\mu ?}\hat{k}\times E_0$$

因此
$$S=\frac{c}{8\pi }\sqrt{?/\mu }|E_0{|}^2\hat{k}$$

其中$|E_0{|}^2$由實(shí)部與虛部構(gòu)成，所以修正后的Poynting矢量是除以$8$而不是$4$。

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考慮一個(gè)截面積為$A$，長(zhǎng)度為$vdt$的區(qū)域，當(dāng)電磁波穿過(guò)這個(gè)區(qū)域時(shí)，流經(jīng)這個(gè)區(qū)域的能量為
$$\begin{gathered} uAvdt=S?Adt \\ u=\frac{S?\hat{n}}{v} \end{gathered}$$

簡(jiǎn)單起見，假設(shè)$S$與外法線方向平行，則
$$u=\frac{\sqrt{\mu ?}}{c}\frac{c}{8\pi }\sqrt{\frac{?}{\mu }}|E_0{|}^2=\frac{?}{8\pi }|E_0{|}^2$$

這個(gè)結(jié)論與Faraday的實(shí)驗(yàn)一致。

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總結(jié)

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