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UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题3 边值问题及其解的唯一性

發布時間：2025/4/14 编程问答 26 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题3 边值问题及其解的唯一性小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題3 邊值問題及其解的唯一性

- Dirichlet問題與Neumann問題
- - 邊值問題解的唯一性
  - Green函數解釋Image charge method

上一講的末尾，我們用Green定理導出了電勢能的積分形式的解，同時也發現積分解需要加上邊界條件才能進一步得到電勢能的具體形式，所以這一講我們簡單敘述一下靜電學問題常用的邊界條件。

Dirichlet問題與Neumann問題

假設邊界上的電勢能已知，這樣的邊界條件叫做Dirichlet條件，對應的靜電學問題叫做Dirichlet問題；假設邊界上的電場/電場沿邊界外法向的值已知，這樣的邊界條件叫做Neumann條件，對應的靜電學問題叫做Neumann問題。

邊值問題解的唯一性

假設 $Φ1,Φ2\Phi_1,\Phi_2$ 是source $ρ\rho$ 與邊界條件相同的兩個靜電學問題的解，則 $Φ1=Φ2\Phi_1=\Phi_2$ 。

證明
根據Poisson方程：
$?2Φ1=?4πρ=?2Φ2??2(Φ1?Φ2)=0\nabla^2 \Phi_1 = -4\pi \rho = \nabla^2 \Phi_2 \\ \Rightarrow \nabla^2(\Phi_1-\Phi_2)=0$

根據Green’s First Identity，
$∫V(b?2d+?b??d)dxdydz=∮S(V)b?d?ndS\int_V ( b \nabla^2 d+\nabla b \cdot \nabla d)dxdydz=\oint_{S(V)} b \frac{\partial d}{\partial n}dS$

取 $b=d=Φ1?Φ2b=d=\Phi_1-\Phi_2$ ，則
$∫V?(Φ1?Φ2)??(Φ1?Φ2)=∮S(V)(Φ1?Φ2)??n(Φ1?Φ2)\int_V \nabla(\Phi_1-\Phi_2)\cdot \nabla(\Phi_1-\Phi_2) = \oint_{S(V)}(\Phi_1-\Phi_2)\frac{\partial}{\partial n}(\Phi_1-\Phi_2)$

對于Dirichlet問題， $Φ1?Φ2=0\Phi_1-\Phi_2=0$ ；對于Neumann問題， $??n(Φ1?Φ2)=0\frac{\partial}{\partial n}(\Phi_1-\Phi_2)=0$ ，所以
$∫V?(Φ1?Φ2)??(Φ1?Φ2)=0??(Φ1?Φ2)=0\int_V \nabla(\Phi_1-\Phi_2)\cdot \nabla(\Phi_1-\Phi_2) =0 \\ \Rightarrow \nabla (\Phi_1-\Phi_2)=0$

于是 $Φ1=Φ2+const.\Phi_1=\Phi_2+const.$ ，const.的物理意義只是 $Φ1,Φ2\Phi_1,\Phi_2$ 代表的兩個靜電場選取的勢能參考點不一樣，所以靜電學問題source與邊界條件給定后，它的解是唯一的。

Green函數解釋Image charge method

現在我們回到上上講介紹的例子，假設x-y平面是一塊接地的、厚度可以忽略不計的導電板，在 $d?1=(0,0,d)\vec d_1=(0,0,d)$ 的位置有一個電荷量為 $q$ 的正電荷，要計算空間中的電場 $E?\vec{E}$ 。應用Image charge method，假設在 $d?1=(0,0,d)\vec d_1=(0,0,d)$ 的位置有一個電荷量為 $q$ 的正電荷，在 $d?2=(0,0,?d)\vec d_2 = (0,0,-d)$ 的位置有一個電荷量為 $q$ 的負電荷，則邊界條件同樣為
$Φ(x,y,0,t)=0\Phi(x,y,0,t)=0$

這個問題的Green函數可以用單電荷的Green函數修正得到：
$G(r?,r?′)=1∣r??r?′∣+F(r?,r?′)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+F(\vec r , \vec r')$

其中 $F(r?,r?′)F(\vec r,\vec r')$ 用來表示image charge的幾何效應，然而image charge并不在我們要計算的電場的覆蓋區域內，因此
$?2F(r?,r?′)=0\nabla^2 F(\vec r, \vec r')=0$

所以這個修正后的Green函數依然滿足
$?2G(r?,r?′)=?4πδ3(r??r?′)\nabla^2 G(\vec r ,\vec r')=-4\pi \delta^3(\vec r - \vec r')$

我們得到的電勢能的積分解為
$Φ(r?)=∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′?14π∮S(V)(Φ?G(r?,r?′)?n?G(r?,r?′)?Φ?n)dS′\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' \\ -\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)}(\Phi \frac{\partial G(\vec r ,\vec r')}{\partial n}-G(\vec r,\vec r')\frac{\partial \Phi}{\partial n})dS'$

因此我們可以靈活選取 $F(r?,r?′)F(\vec r,\vec r')$ 使得在Dirichlet問題中，邊界上 $G = 0$ ；在Neumann問題中，邊界上 $?G?n=0\frac{\partial G}{\partial n}=0$ ，從而簡化計算，當然這是比較理想的情況。更詳細一點地說，如果Dirichlet問題中，邊界上有 $G = 0$ ，則
$Φ(r?)=∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′?14π∮S(V)Φ?G(r?,r?′)?ndS′\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)}\Phi \frac{\partial G(\vec r ,\vec r')}{\partial n}dS'$

在Dirichlet問題中，邊界上的 $Φ\Phi$ 已知，所以這個積分式子可以直接計算。然而在Neumann問題中，我們無法使 $?G?n=0\frac{\partial G}{\partial n}=0$ ，以單電荷問題為例，
$?2G=?4πδ3(r??r?′)\nabla ^2 G = -4 \pi \delta^3(\vec r - \vec r')$

根據高斯散度定理：
$∫V?2G(r?,r?′)dx′dy′dz′=?4π=∫V??(?G(r?,r?′))dx′dy′dz′?∮S(V)?G(r?,r?′)dS?=∮S(V)?G?ndS=?4π\int_V \nabla^2 G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' = -4\pi = \int_V \nabla \cdot (\nabla G(\vec r,\vec r'))dx'dy'dz' \\ \Rightarrow \oint_{S(V)} \nabla G(\vec r, \vec r')d\vec S = \oint_{S(V)} \frac{\partial G}{\partial n}dS = -4\pi$

所以 $?G?n\frac{\partial G}{\partial n}$ 不能恒等于0，于是一種替代方法是在Neumann問題中，我們嘗試選擇 $F(r?,r?′)F(\vec r,\vec r')$ 使得
$?G?n=?4π∣S∣\frac{\partial G}{\partial n} = \frac{-4\pi}{|S|}$

于是當 $\to \infty$ 時，
$Φ(r?)=∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′+14π∮S(V)?Φ?nGdS\Phi(\vec r)=\int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'+\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)}\frac{\partial \Phi}{\partial n}GdS$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题3 边值问题及其解的唯一性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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