UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理4 獨立一元隨機變量的性質

上一講我們建立了判斷一元隨機變量獨立性的方法，這一講我們來推導一些關于一元隨機變量獨立性的性質。

性質1 $?1\le i\le n,1\le j\le m_i$，$\{X_{i,j}\}$是一列獨立的隨機變量，假設$f_i:{\mathbb{R}}^{m_i}\to \mathbb{R}$是可測函數，則$\{f_i(X_{i,1},?,X_{i,m_i})\}$也是一列獨立的隨機變量。

說明 簡單地說，這個性質表達的是獨立隨機變量的函數也是互相獨立的。這里給出證明的思路。

引理 假設${\mathcal{F}}_{i,j}$，$1\le i\le n,1\le j\le m_i$，是獨立的集族，定義${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j})$，則${\mathcal{G}}_1,?,{\mathcal{G}}_i$是獨立的。

構造${\mathcal{A}}_i=\{{\cap }_j{A}_{i,j}:A_{i,j}\in {\mathcal{F}}_{i,j}\}$，不難驗證${\mathcal{A}}_i$是一個$\pi$-類，并且$\Omega ,{\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j}\in {\mathcal{A}}_i$，根據$\sigma$-代數獨立性的定理：(定理 假設${\mathcal{A}}_i,1\le i\le n$是一列獨立的$\pi$-類，則$\sigma (A_i),1\le i\le n$獨立。)，${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\mathcal{A}}_i)$獨立。

根據這個引理我們討論性質1，記${\mathcal{F}}_{i,j}=\sigma (X_{i,j})$，${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j})$，則
$$f_i(X_{i,1},?,X_{i,m_i})\in {\mathcal{G}}_i$$

根據引理，$\{f_i(X_{i,1},?,X_{i,m_i})\}$也是一列獨立的隨機變量。

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性質2 假設$\{X_i{\}}_{i=1}^n$是一列獨立的隨機變量，$X_i$的分布為${\mu }_i$，則$(X_1,?,X_n)$的聯合分布為${\mu }_1\times ?\times {\mu }_n$

說明 先解釋一下${\mu }_i$的含義，對于$A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
$${\mu }_i(A)=P(X_i\in A)$$

聯合分布指的是
$${\mu }_1\times ?\times {\mu }_n(A_1\times ?\times A_n)=\prod _{i=1}^n{\mu }_i(A_i)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i\in A)$$

因為
$$\begin{gathered} P((X_1,?,X_n)\in (A_1\times ?\times A_n)) \\ =P(X_1\in A_1,?,X_n\in A_n) \end{gathered}$$

根據獨立性，
$$P(X_1\in A_1,?,X_n\in A_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i\in A)$$

再根據分布的定義，就可以得到性質2了。

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性質3 (Fubini-Tonelli定理的期望形式)
假設$X,Y$的分布為$\mu ,\nu$，并且$X,Y$互相獨立，如果$h$是可測函數，$h$非負或者可積，則
$$Eh(X,Y)=?h(x,y)\mu (dx)\nu (dy)$$

一個特殊情況是如果$h(x,y)=f(x)g(y)$，$f,g$非負或者$f,g$可積，則
$$Ef(X)g(Y)=Ef(X)Eg(Y)$$

總結

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