UA MATH567 高維統計I 概率不等式8 亞指數范數

類似亞高斯范數，我們也可以定義隨機變量的亞指數范數（sub-exponential norm）：
$${\Vert X\Vert }_{{\psi }_1}=\inf \{t>0:E{e}^{|X|/t}\le 2\}$$

關于這個定義符合范數的條件的證明讀者可以自行完成，可以參考亞高斯范數的證明以及更一般的，Orlicz范數的證明。

亞指數范數與亞高斯范數的關系

$X$是亞高斯隨機變量等價于$X^2$是亞指數隨機變量，并且${\Vert X^2\Vert }_{{\psi }_1}={\Vert X\Vert }_{{\psi }_2}^2$

$X,Y$是亞高斯隨機變量，則$XY$是亞指數隨機變量，并且${\Vert XY\Vert }_{{\psi }_1}\le {\Vert X\Vert }_{{\psi }_2}{\Vert Y\Vert }_{{\psi }_2}$

證明
第一個結論。我們直接寫出定義，
$$\begin{gathered} {\Vert X^2\Vert }_{{\psi }_1}=\inf \{t:E{e}^{X^2/t}\le 2\} \\ {\Vert X\Vert }_{{\psi }_2}^2={\left[\inf \{t:E{e}^{X^2/t^2}\le 2\}\right]}^2=\inf \{t^2:E{e}^{X^2/t^2}\le 2\} \end{gathered}$$

所以
$${\Vert X^2\Vert }_{{\psi }_1}={\Vert X\Vert }_{{\psi }_2}^2$$

第二個結論。不妨假設${\Vert X\Vert }_{{\psi }_2}={\Vert Y\Vert }_{{\psi }_2}=1$，因為$X,Y$是亞高斯分布，根據亞高斯性4，$K_4=1$，則
$$E{e}^{X^2}\le 2,E{e}^{Y^2}\le 2$$

連用兩次Young不等式，
$$E{e}^{|XY|}\le E{e}^{\frac{X^2}{2}+\frac{Y^2}{2}}=E{e}^{\frac{X^2}{2}}{e}^{\frac{Y^2}{2}}\le \frac{1}{2}E[e^{X^2}+e^{Y^2}]\le 2$$

所以$XY$服從亞指數分布。

例 指數分布是亞指數分布
假設$X～EXP(\lambda )$，則
$$P(X\ge t)=e^{?\lambda t},?t\ge 0$$

顯然這個服從亞指數分布尾部概率的性質。我們計算
$$E{e}^{|X|/t}={\int }_0^{\infty }{e}^{\frac{x}{t}}\lambda e^{?\lambda x}dx={\int }_0^{\infty }\lambda e^{(\frac{1}{t}?\lambda )x}dx=?\frac{\lambda }{\frac{1}{t}?\lambda }$$

當$\lambda >1/t$時收斂。考慮
$$?\frac{\lambda }{\frac{1}{t}?\lambda }\le 2?t\ge \frac{2}{\lambda }$$

于是
$${\Vert X\Vert }_{{\psi }_1}=\frac{2}{\lambda }$$

總結

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