UA MATH567 高維統計I 概率不等式9 亞高斯性的推廣：Orlicz空間

這一講討論亞高斯范數與亞指數范數的推廣，用一個更廣義的框架理解這兩種范數，它們其實是Orlicz空間中的隨機變量的Orlicz范數。

稱$\psi :[0,\infty )\to [0,\infty )$為Orlicz函數，如果

$\psi (0)=0$

$\psi (+\infty )=+\infty$

$\psi$是單調遞增的凸函數

假設隨機變量$X$定義在概率空間$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上，定義隨機變量的Orlicz范數為
$${\Vert X\Vert }_{\psi }=\inf \{t>0:E\psi (|X|/t)\le 1\}$$

記$L_{\psi }(\Omega ,\mathcal{F},P)$是概率空間$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上Orlicz范數有限的隨機變量的集合，簡記為$L_{\psi }$，稱它是Orlicz空間。Orlicz空間實際上比我們常用的$L^p$空間更具有一般性，比如取$\psi (x)=x^p,p\ge 1$，則$L_{\psi }=L^p$，也就是說$L^p$空間實際上是Orlicz空間的一種特例。另外，如果取$\psi (x)=e^{x^2}?1$，則Orlicz范數就是亞高斯范數；如果取$\psi (x)=e^x?1$，則Orlicz范數就是亞指數范數

接下來我們驗證下面兩個事實：

Orlicz范數的確是Orlicz空間$L_{\psi }$上的范數；

Orlicz空間$L_{\psi }$是一個Banach空間；

證明
先說明Orlicz范數真的是一個范數。
(i) ${\Vert X\Vert }_{\psi }=0$等價于$X=0,a.s.$，因為$??>0$，根據Markov不等式
$$P(|X|\ge ?)=P(\psi (|X|/t)\ge \psi (?/t))\le \frac{1}{\psi (?/t)}E[\psi (|X|/t)]$$

如果${\Vert X\Vert }_{\psi }=0$，根據Orlicz范數的定義
$$E[\psi (|X|/t)]\le 1,?t>0$$

因此
$$\frac{1}{\psi (?/t)}E[\psi (|X|/t)]\le \frac{1}{\psi (?/t)}$$

因為$t$的任意性，我們可以選取$t=o(?)$，使得$\psi (?/t)\to \infty$，從而$P(|X|\ge ?)\to 0$，于是$X=0,a.s.$。反過來，如果$X=0,a.s.$，顯然${\Vert X\Vert }_{\psi }=0$。

(ii) 根據定義${\Vert cX\Vert }_{\psi }=|c|{\Vert X\Vert }_{\psi }$顯然成立；

(iii) 記$t={\Vert X\Vert }_{\psi },s={\Vert Y\Vert }_{\psi }$，要說明${\Vert X\Vert }_{\psi }+{\Vert Y\Vert }_{\psi }\ge {\Vert X+Y\Vert }_{\psi }$，需要說明
$$\psi (\frac{|X+Y|}{s+t})\le 1,a.s.$$

因為$\psi$是凸函數，根據Jensen不等式，
$$\psi (\frac{|X+Y|}{s+t})\le \psi (\frac{|X|+|Y|}{s+t})\le \frac{t}{s+t}\psi (\frac{|X|}{t})+\frac{s}{s+t}\psi (\frac{|Y|}{s})$$

其中
$$\psi (\frac{|X|}{t})\le 1,a.s.,\psi (\frac{|Y|}{s})\le 1,a.s.$$

于是
$$\psi (\frac{|X+Y|}{s+t})\le 1,a.s.$$

綜上，Orlicz范數符合范數的定義。

評注
1）為了說明Orlicz空間是一個Banach空間，需要說明Orlicz空間中的Cauchy序列收斂，這個操作與說明$L^p$空間的完備性類似，讀者可以自行嘗試，也就是假設$\{X_n\}?L_{\psi }$，滿足
$${\Vert X_n?X_m\Vert }_{\psi }\to 0,asn,m\to \infty$$

需要說明$\{X_n\}$收斂到$L_{\psi }$中的某個隨機變量。

2）Orlicz空間與$L^p$空間有包含關系：
$$L^{\infty }?L_{\psi }?L^p$$

其中$L^{\infty }$中的隨機變量是有界的，$L^p$中的隨機變量的前$p$階矩是有界的，$L_{\psi }$中的隨機變量的尾部概率滿足一定的限制。

總結

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