UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 證明函數列L1收斂的一個題目

例 假設$f_n$在$[0,1]$上絕對連續，$f_n(0)=0,?n\ge 1$，并且$f_n^{\prime }{\to }_{L^1}g$，證明

$?f$ 在$[0,1]$上絕對連續，且$f_n{\to }_{L^1}f$

$g=f^{\prime },a.e.[0,1]$

證
第一問：$f_n$在$[0,1]$上絕對連續說明$?n\ge 1,x\in [0,1]$,
$$f_n(x)={\int }_0^x{f}_n^{\prime }(t)dt$$

定義
$$f(x)={\int }_0^{x}g(t)dt$$

因為$g\in L^1([0,1])$, 所以$f$是絕對連續的，下面我們說明$f_n{\to }_{L^1}f$，
$$\begin{gathered} {\int }_0^1|f_n(x)?f(x)|dx={\int }_0^1\left|{\int }_0^x{f}_n^{\prime }(t)dt?{\int }_0^{x}gdt\right|dx \\ \le {\int }_0^1{\int }_0^x|f_n^{\prime }(t)?g(t)|dtdx\le {\int }_0^1{\int }_0^1|f_n^{\prime }(t)?g(t)|dtdx \\ ={\int }_0^1|f_n^{\prime }(t)?g(t)|dt={\Vert f_n^{\prime }?g\Vert }_{L^1}\to 0 \end{gathered}$$

因此$f_n{\to }_{L^1}f$。

第二問：定義
$$E^C=\{x\in [0,1]:?\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)?f(x)}{h}\}$$

因為$f$絕對連續，所以$f^{\prime }$幾乎處處存在，則$$m(E)=0$$

定義
$$F^C=\{x\in [0,1]:g(x)=?\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}g(t)dt\}$$

根據Lebesgue可微性，
$$m(F)=0$$

定義$G=E\cup F$，顯然$0\le m(G)\le m(E)+m(F)=0$，即$m(G)=0$，在$[0,1]?G$上，
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)?f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}g(t)dt=g(x)$$

總結

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