UA MATH571B 試驗設計VI 隨機效應與混合效應2

• 兩個factor的混合效應模型
• • Restricted Model
  • Unrestricted Mixed Model
• 對兩因素隨機與混合效應模型的總結

兩個factor的混合效應模型

假設我們關注A和B兩個factor的effects，但A是fixed factor，B是random factor，模型設定為：
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk} \\ {?}_{ijk}{～}_{iid}N(0,{\sigma }^2);i=1,?,a;j=1,?,b;k=1,?,n \\ \sum _{i=1}^a{\tau }_i=0,{\beta }_j{～}_{iid}N(0,{\sigma }_{\beta }^2) \end{gathered}$$

因為A是fixed factor，所以A的treatment effect ${\tau }_i$滿足fixed effect的約束；B是random factor，所以B的treatment effect ${\beta }_j$是隨機變量。難點在于交互效應$(\tau \beta {)}_{ij}$的處理，交互的兩個factor一個是fixed factor，另一個是random factor，這非常自然地引出了兩種不同的觀點：1）因為交互效應的產生有random factor的作用，所以應該把交互效應當做隨機變量（Unrestricted Mixed Model）；2）交互效應中來自fixed factor的部分同樣應該加上fixed effect的約束（Restricted Model）。

Restricted Model

交互效應中來自fixed factor的部分應該滿足約束：
$$\sum _{i=1}^a(\tau \beta {)}_{ij}=(\tau \beta {)}_{.j}=0,?j$$

但是因為random factor的存在，交互效應還是隨機的，不存在約束的時候，交互效應滿足：
$$(\tau \beta {)}_{ij}{～}_{iid}N(0,{\sigma }_{\tau \beta }^2)$$

因為約束的存在，自由度應該減1，上面的分布應該修正為
$$(\tau \beta {)}_{ij}～N(0,\frac{a?1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2)$$

并且fixed factor與相同random factor level交互產生的效應不是獨立的，
$$Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{i^{\prime }j})=Cov((\tau \beta {)}_{ij},?\sum _{l=1,l=i^{\prime }}^a(\tau \beta {)}_{lj})$$

在$l=1,?,a,l=i^{\prime }$中，
$$\begin{gathered} Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{ij})=Var((\tau \beta {)}_{ij})=\frac{a?1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2,l=i \\ Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{lj})=Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{i^{\prime }j}),l=1,?,a,l=i^{\prime },i \end{gathered}$$

因此
$$\begin{gathered} Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{i^{\prime }j})=?\frac{a?1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2?(a?2)Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{i^{\prime }j}) \\ ?Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{i^{\prime }j})=?\frac{1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2 \end{gathered}$$

綜上，Restricted Model關于交互項有3條假設：

${\sum }_{i=1}^a(\tau \beta {)}_{ij}=(\tau \beta {)}_{.j}=0,?j$

$(\tau \beta {)}_{ij}～N(0,\frac{a?1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2),Cov((\tau \beta {)}_{ij},(\tau \beta {)}_{i^{\prime }j})=?\frac{1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2,?j$（協方差這條是1和2的前半句導出的）

fixed factor與不同random factor level交互產生的效應是獨立的

這個模型有如下結果：

Unrestricted Mixed Model

Unrestricted Mixed Model對交互項的處理與兩因素的隨機效應模型是一樣的，假設
$$(\tau \beta {)}_{ij}{～}_{iid}N(0,{\sigma }_{\tau \beta }^2)$$

這個模型的部分結果如下：

注意到B的均方和的期望中包含了殘差、B的treatment effect，交互項三部分的方差，因此檢驗因素B的方差是否為0時F統計量要用$M{S}_B/M{S}_{AB}$而不是$M{S}_B/M{S}_E$！

事實上Unrestricted Mixed Model可以化歸為Restricted Model。定義
$$(\bar{\tau }\beta {)}_{.j}=\frac{1}{a}\sum _{i=1}^a(\tau \beta {)}_{ij}$$

對Unrestricted Mixed Model做簡單變形：
$$\begin{gathered} y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\beta }_j+(\tau \beta {)}_{ij}+{?}_{ijk} \\ =\mu +{\tau }_i+({\beta }_j+(\bar{\tau }\beta {)}_{.j})+((\tau \beta {)}_{ij}?(\bar{\tau }\beta {)}_{.j})+{?}_{ij} \end{gathered}$$

定義${\gamma }_j={\beta }_j+(\bar{\tau }\beta {)}_{.j},(\tau \gamma {)}_{ij}=(\tau \beta {)}_{ij}?(\bar{\tau }\beta {)}_{.j}$，驗證以下模型是Restricted Model：
$$y_{ijk}=\mu +{\tau }_i+{\gamma }_j+(\tau \gamma {)}_{ij}+{?}_{ijk}$$

計算
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^a(\tau \gamma {)}_{ij}=\sum _{i=1}^a[(\tau \beta {)}_{ij}?(\bar{\tau }\beta {)}_{.j}]=\sum _{i=1}^a(\tau \beta {)}_{ij}?a(\bar{\tau }\beta {)}_{.j}=0 \\ Cov((\tau \gamma {)}_{ij},(\tau \gamma {)}_{ij})=Cov((\tau \beta {)}_{ij}?(\bar{\tau }\beta {)}_{.j},(\tau \beta {)}_{ij}?(\bar{\tau }\beta {)}_{.j}) \\ ={\sigma }_{\tau \beta }^2?\frac{1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2?\frac{1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2+\sum _{i=1}^a\frac{1}{a^2}{\sigma }_{\tau \beta }^2=\frac{a?1}{a}{\sigma }_{\tau \beta }^2 \end{gathered}$$

因此Restricted Model比Unrestricted Mixed Model更具有一般性。

對兩因素隨機與混合效應模型的總結

這是我老師課件上的表格，感覺總結得不錯，貼在這里：

注意這些表展示的都是ANOVA方法的框架，EMS表示均方和的期望，根據均方和的期望可以把F統計量寫出來，比如最后這張表，要檢驗$H_0:{\sigma }_{\beta }^2=0$需要用它對應的均方和除以$(\beta \gamma )$對應的均方和，因為它對應的EMS里面包含殘差、$(\beta \gamma )$以及$\beta$三部分方差，要檢驗$\beta$的需要剔除前兩項，對應的就是$(\beta \gamma )$的EMS。

同樣以最后這張表為例，表格上半部分第一行表示某個指標適用固定效應（F）還是隨機效應（R）的假設；第三行是指標的記號；第二行表示指標的最大取值。表格下半部分第一列是不同的effect，比如${\tau }_i$關于$i$指標是0說明它服從固定效應的假設，關于后面三個指標都是對應指標的最大值，說明${\tau }_i$與后面三個指標無關；${\beta }_j$關于指標$j$是1說明它服從隨機效應的假設，關于另外三個指標都是對應指標的最大值說明它與另外三個指標無關；$(\tau \beta {)}_{ij}$關于關于$i$指標是0，關于指標$j$是1，說明它適用Restricted Model的假設。

總結

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