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矩阵分析与多元统计12 0-1矩阵交换矩阵与Kronecker乘积

發布時間：2025/4/14 编程问答 23 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵分析与多元统计12 0-1矩阵交换矩阵与Kronecker乘积小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

矩陣分析與多元統計12 0-1矩陣交換矩陣與Kronecker乘積

基本性質
用交換矩陣的構造證明基本性質

這一講介紹交換矩陣與Kronecker乘積相關的性質。對于矩陣 $\in F^{m \times n}$ ， $F$ 是某個數域（如實數、復數等）
$[a_1;\cdots;a_n] \in F^{mn\times 1},\ vec(A') = [a^1,\cdots,a^m]' \in F^{mn \times 1}$

如果 $?Kmn∈Fmn×mn,Kmnvec(A)=vec(A′)\exists K_{mn} \in F^{mn \times mn},K_{mn}vec(A) = vec(A')$ ，則稱 $K_{mn}$ 是交換矩陣。如果 $\in F^{p \times q}$ ，定義Kronecker乘積為
$?:Fm×n×Fp×q→Fmp×nqA?B=[a11B?a1nB???am1B?amnB]\otimes : F^{m \times n} \times F^{p \times q} \to F^{mp \times nq} \\ A \otimes B = \left[ \begin{matrix} a_{11}B & \cdots & a_{1n}B \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{matrix} \right]$

基本性質

從定義就可以看出一些基本的性質，如果用交換矩陣作用在Kronecker乘積上，則

Kpm(A?B)=(B?A)KqnK_{pm}(A \otimes B) = (B \otimes A)K_{qn}

Kpm(A?B)Knq=B?AK_{pm}(A \otimes B)K_{nq} = B \otimes A

Kpm(A?b)=b?A,?b∈Fp×1K_{pm}(A \otimes b) = b \otimes A, \forall b \in F^{p \times 1}

Kmp(b?A)=A?bK_{mp}(b \otimes A) = A \otimes b

性質3和4都是性質2的特例，在性質2中取 $B = b$ ，則 $K_{qn}=K_{1n} = I_n$ ；在性質2中取 $A = b, B = A$ ，則同樣有 $K_{qn}=I_n$ 。這個地方交換矩陣的指標需要引起高度重視，因為交換矩陣的指標是根據矩陣的 $v e c$ 算子定義的，但此處與交換矩陣做乘積的是矩陣，所以我來說明一下指標的含義（這個推導實際上是不具有一般性的，這里只是為了說明指標方便！）：記 $A=[a1,?,an]A=[a_1,\cdots,a_n]$ ，則
$\otimes A = b \otimes [a_1,\cdots,a_n] = [b\otimes a_1,\cdots,b \otimes a_n] =[vec(a_1b'),\cdots,vec(a_nb')] \in F^{mp \times 1}$

下面計算
$Kmp(b?A)=Kmp[vec(a1b′),?,vec(anb′)]=[Kmpvec(a1b′),?,Kmpvec(anb′)]K_{mp}(b \otimes A) = K_{mp}[vec(a_1b'),\cdots,vec(a_nb')] = [ K_{mp}vec(a_1b'),\cdots, K_{mp}vec(a_nb')]$

這個式子說明與交換矩陣做乘法的還是某個矩陣的 $v e c$ 算子的結果，這個矩陣的維數就是 $a_1b'$ 的維數，顯然 $a1b′∈Fm×pa_1b' \in F^{m \times p}$ ，因此對應的交換矩陣應該是 $K_{mp}$ 。

與之類似，
$\otimes b = [a_1,\cdots,a_n] \otimes b = [a_1 \otimes b,\cdots, a_n \otimes b] = [vec(ba_1'),\dots,vec(ba_n')] \\ K_{pm} A \otimes b = [K_{pm}vec(ba_1'),\cdots,K_{pm}vec(ba_n')]$

這里與交換矩陣相乘的矩陣的維數是 $\times m$ ，因此交換矩陣是 $K_{pm}$ 。將 $b$ 看成是 $B$ 的某個列向量，則性質1和2中交換矩陣的指標可以類似地理解：記 $B=[b1,?,bq]B=[b_1,\cdots,b_q]$ ，則
$\otimes B = [A \otimes b_1,\cdots,A \otimes b_q] \\ = [a_1 \otimes b_1,\cdots,a_n \otimes b_1,a_1 \otimes b_2,\cdots,a_n \otimes b_2,\cdots,a_1 \otimes b_q,\cdots,a_n \otimes b_q] \\ = [vec(b_1a_1'),\cdots,vec(b_1a_n'),vec(b_2a_1'),\cdots,vec(b_2a_n'),\cdots,vec(b_qa_1'),\cdots,vec(b_qa_n')]$

現在考慮 $vec(b_ja_i')$ ，它的維數是 $p×mp\times m$ ，因此交換矩陣應該用 $K_{p m}$ ， $Kpm(A?B)K_{pm}(A \otimes B)$ 的第 $n (j ? 1) + i$ 列為
$K_{pm}vec(b_ja_i') = vec(a_ib_j')$

同樣地可以行向量計算 $\otimes A$ ，記
$[a^1;\cdots;a^m],\ B= [b^1;\cdots;b^q]$

$\otimes A = [b^1 \otimes a^1 ;\cdots;b^q \otimes a^1;b^1 \otimes a^2 ;\cdots;b^q \otimes a^2;\cdots;\cdots;b^1 \otimes a^n ;\cdots;b^p \otimes a^m] \\ = [devec(b^1a^{1'});\cdots;devec(b^pa^{1'});devec(b^1a^{2'});\cdots;devec(b^pa^{2'});\cdots;devec(b^1a^{m'});\cdots;devec(b^pa^{m'})]$

其中 $b^ja^{i'}$ 的維數為 $\times n$ ，因此交換矩陣應該用 $K_{qn}$ ， $\otimes A) K_{nq}$ 的第 $p (i ? 1) + j$ 行為 $devec(b^ja^{i'})K_{nq} = devec(a^{i}b^{j'})$

要證明性質1只需要比較 $\otimes A) K_{nq}$ 與 $Kpm(A?B)K_{pm}(A \otimes B)$ 說明他們對應位置的元素相等就可以了。

用交換矩陣的構造證明基本性質

上一講介紹了給定交換矩陣的指標時如何寫出交換矩陣：
$Kmn=[In?e1(m)In?e2(m)?In?em(m)]=[Im?e1(n)Im?e2(n)?Im?en(n)]K_{mn} = \left[ \begin{matrix} I_n \otimes e^1(m)\\ I_n \otimes e^2(m) \\ \cdots \\ I_n \otimes e^m(m) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} I_m \otimes e_1(n)& I_m \otimes e_2(n) & \cdots & I_m \otimes e_n(n) \end{matrix} \right]$

接下來我們用交換矩陣的表達式證明上面的基本性質。
證明
性質1。根據vec算子的性質4與Kronecker乘積的性質3計算
$Kpm(A?B)=[Im?e1(p)Im?e2(p)?Im?ep(p)](A?B)=[(Im?e1(p))(A?B)(Im?e2(p))(A?B)?(Im?ep(p))(A?B)]=[A?b1A?b2?A?bp]K_{pm}(A \otimes B) = \left[ \begin{matrix} I_m \otimes e^1(p)\\ I_m \otimes e^2(p) \\ \cdots \\ I_m \otimes e^p(p) \end{matrix} \right] (A \otimes B) = \left[ \begin{matrix} (I_m \otimes e^1(p))(A \otimes B)\\ (I_m \otimes e^2(p))(A \otimes B) \\ \cdots \\ (I_m \otimes e^p(p))(A \otimes B) \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} A \otimes b^1\\ A \otimes b^2 \\ \cdots \\ A \otimes b^p \end{matrix} \right]$

下面計算 $Knq(B′?A′)K_{nq}(B' \otimes A')$ ，
$Knq(B′?A′)=[Iq?e1(n)Iq?e2(n)?Iq?en(n)](B′?A′)=[B′?a1′B′?a2′?B?an′]K_{nq}(B' \otimes A')=\left[ \begin{matrix} I_q \otimes e^1(n)\\ I_q \otimes e^2(n) \\ \cdots \\ I_q \otimes e^n(n) \end{matrix} \right] (B' \otimes A') = \left[ \begin{matrix} B' \otimes a_1' \\ B'\otimes a_2' \\ \cdots \\ B \otimes a_n' \end{matrix} \right]$

不難發現第一個結果和第二個結果互為轉置。

性質2。根據交換矩陣的性質以及性質1，
$Kpm(A?B)=(B?A)Kqn?Kpm(A?B)Kqn?1=B?A?Kpm(A?B)Knq=B?AK_{pm}(A \otimes B) = (B \otimes A)K_{qn} \Rightarrow K_{pm}(A \otimes B)K_{qn}^{-1} = B \otimes A \\ \Rightarrow K_{pm}(A \otimes B)K_{nq} = B \otimes A$

證畢

另外還有一些有趣的公式，摘錄在這里，證明方法也都是用交換矩陣的表達式結合Kronecker乘積與vec算子的性質進行計算。

(Kqm?Ip)(A?vec(B))=[A?b1;?;A?bq](K_{qm}\otimes I_p)(A \otimes vec(B)) = [A \otimes b_1;\cdots;A \otimes b_q]

(In?Kpm)(vec(A)?B)=[B?a1;?;B?an](I_n \otimes K_{pm})(vec(A) \otimes B) = [B \otimes a_1;\cdots; B \otimes a_n]

\otimes B = K_{mp}[A \otimes b^1;\cdots;A \otimes b^p] = (A \otimes b_1,\cdots,A \otimes b_q)K_{qn}

類似地Kronecker算子、vec算子與交換矩陣構成的恒等式還有很多，它們的主要目的是解構復雜的大矩陣中的元素排列規律，并把這種大矩陣表示成更簡單的小矩陣的運算，在之后矩陣的微分中這種技巧是非常常用的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计12 0-1矩阵交换矩阵与Kronecker乘积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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