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UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1

發布時間：2025/4/14 编程问答 36 豆豆

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UA MATH564 概率論IV 次序統計量例題1

題目
次序統計量常用公式
答案

題目

例1 $X1,?,Xn～iidU(0,θ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(0,\theta)$ ，證明 $X_{(1)}/X_{(n)}$ 與 $X_{(n)}$ 獨立。

例2 如果 $X1,?,XnX_1,\cdots,X_n$ 的分布是
$\frac{a}{\theta^a}x^{a-1},x \in (0,\theta)$
證明 $X(1)/X(2),?,X(n?1)/X(n),X(n)X_{(1)}/X_{(2)},\cdots,X_{(n-1)}/X_{(n)},X_{(n)}$ 互相獨立，并計算他們的分布。

例3 如果 $X1,?,XnX_1,\cdots,X_n$ 獨立同分布，并記其概率密度為 $f (x)$ ，定義 $R=X_{(n)}-X_{(1)},V=(X_{(n)} + X_{(1)})/2$ ，計算他們的聯合概率密度，如果總體為均勻分布 $U(0,θ)U(0,\theta)$ ，計算條件密度 $V ∣ R = r$ 。

例4 如果 $X1,?,XnX_1,\cdots,X_n$ 獨立同分布，假設總體的概率密度 $f (x)$ 關于 $ξ0\xi_0$ 對稱，記 $X_{i}$ 的概率密度為 $g_{(i)}(y)$ ，證明 $g(i)(ξ0+y)=g(n+1?i)(ξ0?y)g_{(i)}(\xi_0+y) = g_{(n+1-i)}(\xi_0 - y)$

例5 $X1,?,Xn～iidU(σ,μ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(\sigma,\mu)$ ，證明 $X_{(1)}|X_{(n)}=x$ 與 $Y_{(1)}$ 同分布，其中 $Y1,?,Yn?1～iidU(μ,x)Y_1,\cdots,Y_{n-1} \sim_{iid} U(\mu,x)$

例6 $X1,?,Xn～iidμ+Γ(1/σ,1)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} \mu + \Gamma(1/\sigma,1)$ ，求 $e?X1/σe^{-X_1/\sigma}$ ， $(X1?μ)/S(X_{1}-\mu)/S$ 的分布，并證明 $X_{1}$ ， $X_{2}-X_{1}$ ， $?\cdots$ ， $X_{(n)}-X_{(n-1)}$ 互相獨立。其中 $S=n(Xˉ?X(1))S=n(\bar{X}-X_{(1)})$

例7 $X1,?,Xn～iidN(μ,σ2)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} N(\mu,\sigma^2)$ ，記 $S=SSTS=\sqrt{SST}$ ， $\sim t_{n-1}$ ，

證明

n?1(X1?Xˉ)S=d(n?1)Yn(Y2+n?2)\frac{\sqrt{n-1}(X_1-\bar{X})}{S} = _d \frac{(n-1)Y}{\sqrt{n(Y^2 + n - 2)}}

證明

sup?(Xi?XˉS)=i?1n(n?i+1)\sup \left(\frac{X_{i}-\bar{X}}{S} \right) = \sqrt{\frac{i-1}{n(n-i+1)}}

證明當

x≥(n?1)(n?2)2nx\ge\sqrt{\frac{(n-1)(n-2)}{2n}}

時，

P(n?1(X(n)?Xˉ)S>x)=nP(Y>xn(n?2)(n?1)2?nx2)P(\frac{\sqrt{n-1}(X_{(n)}-\bar{X})}{S}>x) = nP(Y>x\sqrt{\frac{n(n-2)}{(n-1)^2 - nx^2}})

次序統計量常用公式

定理1（單個次序統計量的分布）
$FX(j)=∑k=jnCnk[F(x)]k[1?F(x)]n?kF_{X_{(j)}} = \sum_{k=j}^n C_n^k [F(x)]^k[1-F(x)]^{n-k}$
定理2（單個次序統計量的概率密度）
$f_{X_{(j)}}(x) = jC_n^j [F(x)]^{j-1}[1-F(x)]^{n-j}f(x)$
定理3（兩個次序統計量的聯合概率密度）不妨假設 $j > i$ ，則
$f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=(n)_2f(x_{i})f(x_{j})C_{n-2}^{i-1}C_{n-i-3}^{j-i-1}[F(x_i)]^{i-1}[F(x_j)-F(x_i)]^{j-i-1}[1-F(x_j)]^{n-j}$
在應用的時候，可以把 $n)_2C_{n-2}^{i-1}C_{n-i-3}^{j-i-1}$ 化簡一下，
$(n)2Cn?2i?1Cn?i?3j?i?1=n!(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!(n)_2C_{n-2}^{i-1}C_{n-i-3}^{j-i-1} = \frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}$

答案

例1 $X1,?,Xn～iidU(0,θ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(0,\theta)$ ，證明 $X_{(1)}/X_{(n)}$ 與 $X_{(n)}$ 獨立。
先計算 $X_{(1)}$ 和 $X_{(n)}$ 的分布， $f(x)=1θ,F(x)=xθ,x∈(0,θ)f(x)=\frac{1}{\theta},\ \ F(x) = \frac{x}{\theta},x \in (0,\theta)$ 根據定理3（帶入 $j = n, i = 1$ ），
$n!(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!=n!(n?2)!fX(i)fX(j)=1θ2,[F(xi)]i?1[F(xj)?F(xi)]j?i?1[1?F(xj)]n?j=(x(n)?x(1)θ)n?2fX(1),X(n)(x(1),x(n))=(n)2(x(n)?x(1))n?2θn\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} = \frac{n!}{(n-2)!} \\ f_{X_{(i)}}f_{X_{(j)}} = \frac{1}{\theta^2},\ \ [F(x_i)]^{i-1}[F(x_j)-F(x_i)]^{j-i-1}[1-F(x_j)]^{n-j}=\left(\frac{x_{(n)}-x_{(1)}}{\theta}\right)^{n-2} \\ f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_{(1)},x_{(n)}) = \frac{(n)_2(x_{(n)}-x_{(1)})^{n-2}}{\theta^n}$

定義 $U=X_{(1)}/X_{(n)},V=X_{(n)}$ ，則 $U, V$ 是 $X_{(1)}$ 與 $X_{(n)}$ 的二元變換，
$X_{(1)} = UV,\ \ X_{(n)} = V$
計算Jacobi行列式，
$\left| \frac{\partial(X_{(1)},X_{(n)})}{\partial(U,V)} \right| = \left| \begin{matrix} V & 0 \\ U & 1 \\ \end{matrix} \right| = V$
根據隨機變量變換的密度公式，
$fU,V(u,v)=fX(1),X(n)(uv,v)J(u,v)=(n)2v(v?uv)n?2θn=(n)2vn?1(1?u)n?2θnf_{U,V}(u,v) = f_{X_{(1)},X_{(n)}}(uv,v)J(u,v) \\= \frac{(n)_2v(v-uv)^{n-2}}{\theta^n} = \frac{(n)_2v^{n-1}(1-u)^{n-2}}{\theta^n}$
根據下面的引理知， $U$ 和 $V$ 互相獨立。

引理1 $X,Y～f(x,y)X,Y\sim f(x,y)$ ， $?h(x),g(y)\exists h(x),g(y)$ , $f (x, y) = h (x) g (y)$ ，則 $X$ 和 $Y$ 互相獨立。
證明
$fX(x)=∫?∞+∞f(x,y)dy=∫?∞+∞h(x)g(y)dy=h(x)∫?∞+∞g(y)dyfY(y)=∫?∞+∞f(x,y)dx=∫?∞+∞h(x)g(y)dx=g(y)∫?∞+∞h(x)dxfX(x)fY(y)=f(x,y)∫?∞+∞g(y)dy∫?∞+∞h(x)dx=Fubinif(x,y)∫?∞+∞h(x)g(y)dxdy=f(x,y)f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)g(y)dy = h(x) \int_{-\infty}^{+\infty}g(y)dy \\ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)g(y)dx = g(y)\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx \\ f_X(x)f_Y(y) = f(x,y) \int_{-\infty}^{+\infty}g(y)dy\int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx \\ =_{Fubini} f(x,y) \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)g(y)dxdy = f(x,y)$

總結

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