UA MATH571A R語言回歸分析實踐 一元回歸4 NBA球員的工資

• Box-Cox變換
• Full Model
• 模型再診斷
• 總結

上一講對一元線性回歸模型進行了診斷，發現模型主要存在三個問題：

工資關于名次存在負相關，但可能不是線性關系；

殘差獨立同分布，但不是正態分布；并且同方差假設也不成立；

模型存在replicate，一元線性回歸有欠擬合的風險

這一講針對這些問題給出解決方案，看是否能提高模型的解釋力。

Box-Cox變換

Box-Cox變換是作用在被解釋變量上的變換，可以描述Y與X之間的非線性關系，需要用到MASS包

require(MASS)

接下來選擇Box-Cox變換的參數，但做這個之前需要先對被解釋變量做個簡單處理，在原始數據中，沒有被簽約的球員工資數據為0，但Box-Cox變換允許對數變換，所以被解釋變量需要是正數，我們簡單操作一下把為0的那些工資改成1，

for(i in 1:651){if(Y[i] == 0){Y[i] = 1} }

然后重新估計一下回歸模型來做Box-Cox

> ureg01.lm <- lm(Y~X) > ureg01.bc <- boxcox(ureg01.lm,lambda=seq(-1, 1, 0.1), interp=F )

根據這個圖，基本認定對數似然最大對應的lambda為1/4，所以回歸模型應該修改為
$$Y^{1/4}={\beta }_0+{\beta }_{1}X+?$$
先對數據做變換，然后重新估計模型

> Ystar <- Y^0.25 > ureg02.lm <- lm(Ystar~X) > summary(ureg02.lm)Call: lm(formula = Ystar ~ X)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max -47.664 -9.330 -2.486 10.569 41.335 Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 55.79764 1.02218 54.59 <2e-16 *** X -0.47560 0.02649 -17.96 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 14.78 on 649 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.3319, Adjusted R-squared: 0.3309 F-statistic: 322.4 on 1 and 649 DF, p-value: < 2.2e-16

主要結果基本不變，現在我們關注的是R方，可以發現改了模型設定后，R方變大了不少，說明之前的線性設定真的是不成立的。但我們對現在的結果也不是很滿意，因為工資的變化還是只有33%與名次有關。

Full Model

一元線性回歸不行的話，按之前的檢驗，可能也有欠擬合的原因，我們再試試，在Box-Cox變換之后用full model來估計：

> fmodel02.lm <- lm(Ystar ~ factor(X)) > summary(fmodel02.lm)Call: lm(formula = Ystar ~ factor(X))Residual standard error: 14.84 on 591 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.3868, Adjusted R-squared: 0.3256 F-statistic: 6.319 on 59 and 591 DF, p-value: < 2.2e-16

它的結果比較長，我只把倒數三行放在了這里，可以看到用factor model的話R方會再提升一點，但因為factor model復雜度比一元線性回歸高，所以adjusted R方反而會有一點點下降。但是，即使R方有一點點改善，也才只有0.3868。

模型再診斷

我們已經試了所有改進的思路，但是模型解釋力最高也才0.3868，接下來我們對Box-Cox變換的結果再做一下診斷，看看還有什么遺留問題。

plot(ureg02.lm$residuals~X) abline(h=0)

殘差關于X的圖，可以發現那個非線性的東西還在，說明它不一定是由Y和X的非線性關系引起的，或者說他們之間的非線性關系的形式在Box-Cox變換能處理的范圍之外。以及刪失數據依然存在。

> qqnorm(ureg02.lm$residuals) > shapiro.test(ureg02.lm$residuals)Shapiro-Wilk normality testdata: ureg02.lm$residuals W = 0.97864, p-value = 3.813e-08

QQ圖的結果雖然看上去要好一點的，但Shapiro檢驗還是不認可正態分布。

總結

簡單總結一下，我們用一元線性回歸模型對NBA球員的NBA draft number與工資之間的關系做的探索：

Draft Number越小，工資越高，這個負相關關系是存在并且顯著成立的；

在線性模型的框架下，我們發現Draft Number最多只能解釋工資的38.68%，說明有可能存在其他更重要的解釋變量；

線性模型下殘差并不服從正態分布，所以除了Spearman秩相關得出的負相關之外，其他所有結果都不一定準確；

在正態性無法保證的情況下，為了獲得穩健的推斷，或許可以采用非參/半參模型；

從殘差圖可以看出原始數據存在刪失，更好的辦法是用Tobit模型來分析這樣的數據。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571A R语言回归分析实践 一元回归4 NBA球员的工资的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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