UA MATH571A R語言回歸分析實踐 一元回歸2 NBA球員的工資

• 方差分析
• 相關性分析

上一講完成了解釋NBA球員工資的一個簡單的一元線性回歸模型的估計、分析，展示了一下簡單的預測，這一講我們的問題是一元線性回歸模型夠好了嗎？上一講做出來的結果所反映的主要的問題是系數是顯著不為0的（非常小的p值），但模型的解釋力不高（只有18%多一點的解釋力）。這一講我們希望先驗證一下球員Draft Number和工資之間的負向關系是不是真的存在，如果真的存在的話，我們希望解釋為什么名次對工資的解釋力會很低，是因為數據并非線性關系還是正態假設不成立？

方差分析

首先我們用方差分析看看工資的信息都到哪里去了，對回歸用ANOVA分析我們只需要用R語言的anova函數輸入模型對象就可以了，

> anova(ureg01.lm) Analysis of Variance TableResponse: YDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X 1 6.0811e+15 6.0811e+15 150.12 < 2.2e-16 *** Residuals 649 2.6290e+16 4.0508e+13 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

我們這個回歸模型解釋變量是X，它占一個自由度，一共651個樣本，也就是650個自由度，所以殘差占649個自由度，這是第一列df告訴我們的信息。第二列是平方和的分解，第一個數是回歸平方和，第二個數是殘差平方和，平方和也可以理解成被解釋變量，也就是球員工資的信息，很顯然在這個一元線性回歸中，解釋變量X能解釋的信息比殘差中的信息少一個數量級，大部分信息模型都解釋不了，都在殘差中了。第三列就是第二列除以對應的第一列，是自由度調整以后的平方和，第四列是F統計量，這個F統計量就是上一講回歸結果中最后那一行的F統計量，只是ANOVA給出了這個統計量的計算細節，它等于第三列的第一個數除以第二個數。最后一列是F統計量的p值。方差分析的結果是對R方告訴我們的信息，即名次對工資的解釋力不足的更細致的說明。

相關性分析

相關性分析與回歸的邏輯不一樣，相關性分析把兩個變量都看成隨機變量，分析他們的相關性系數。

> alpha <- .05 > N <- length(Y) > r12 <- cor(X,Y) > r12 [1] -0.4334236 > t <- r12*sqrt(N-2)/sqrt(1-r12^2) > t [1] -12.25232 > t < -qt(1-alpha/2,N-2) [1] TRUE > p <- pt(t,N-2) > p [1] 1.70131e-31

先用PPMCC來分析，第一行定義顯著性水平，r12給出了相關性系數的值是-0.4334236，這說明名次和工資之間的確是存在負相關的，這個相關性系數的t統計量是-12.25232，它比5%的顯著性水平要求的判別值更小，并且p值非常的小，說明我們可以拒絕這個t檢驗的原假設，認同相關性系數是顯著異于0的。但PPMCC有一個缺陷，他需要正態分布假設，我們尚且對殘差是否是正態的存疑，這里又用需要正態假設的檢驗顯然不太合理。因此一個更好的選擇是Spearman秩相關檢驗，這個檢驗不需要某種具體的分布形式，所以得出的結果會比PPMCC更合理。在R語言中，用cor.test，選擇method為spearman就可以做這個檢驗：

> cor.test(X,Y,method = "spearman",exact = F)Spearman's rank correlation rhodata: X and Y S = 72838840, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 sample estimates:rho -0.5840626

S是Spearman秩相關檢驗的統計量，對應的p值是非常小的，所以可以拒絕相關性為0的原假設，認同名次與工資之間存在相關性，最后一個數-0.5840626告訴我們他們之間的相關性為負。這兩個檢驗進一步說明了名次和工資之間是存在相關性的，之所以模型解釋力不足可能是模型假設不成立或者模型設定不合理。

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總結

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