UA MATH636 信息論9 Reed-Solomon Code

• Reed-Solomon Code的構造
• • 一個例子

先介紹一類code，maximum distance separable code (MDS code)。考慮一個$(n,k,d)$-code，之前我們討論的都是$d$最小能是多少，下面來討論一下給定$(n,k)$最大的distance能有多少？之所以想要最大的$d$是因為$d$越大能correct的error就越多。

Singleton Bound給出了線性碼的$d$的上界：$d\le n?k+1$
證明
假設codebook的alphabet size為$q$，則一共有$q^k$中不同的code。刪除每一個code的前$d?1$個符號，則剩下的code長度為$n?(d?1)$，根據$d$的含義，剩下的這個codebook每兩個code至少也有一個符號不同，而長度為$n?(d?1)$的code最多有$q^{n?(d?1)}$種，因此
$$q^k\le q^{n?(d?1)}$$
根據這個關系可以得到Singleton Bound。

MDS code就是$d=n?k+1$的code system。

Reed-Solomon Code的構造

考慮MDS code $(n,k,n?k+1)$，滿足$k\le n\le p$。則message vector為
$$m=[x_1,?,x_k],x_i\in GF(p),i=1,?,k$$
我們可以用定義在Galois域上的多項式來表示這個message：
$$P(t)=\sum _{i=1}^k{x}_i{t}^{i?1}$$
然后我們用這個多項式來編碼：
$$c=[c_1,?,c_n]=[P(0),P(1),?,P(n?1)]$$
其實更一般的，只需要選擇$n$個不同的數值就可以了，比如${\alpha }_0,?,{\alpha }_{n?1}\in GF(p)$
$$c=[c_1,?,c_n]=[P({\alpha }_0),P({\alpha }_1),?,P({\alpha }_{n?1})]$$

性質1 RS code是線性碼
$[P(0),P(1),?,P(n?1)]$可以用message vector乘以Vandermonde矩陣來表示，定義生成矩陣為
$$G=V(0,1,2,?,n{)}^T$$
則
$$c=mG$$

性質2 RS code是MDS code
假設$a$是$P(t)$的一個根，則$t?a$是$P(t)$的一個因式。如果$P(t)$有$k?1$個根，則$P(t)$的階至少為$k?1$。現在考慮$d$，它是所有code的Hamming weight的最小值。所以我們要考慮的是$c=[P({\alpha }_0),P({\alpha }_1),?,P({\alpha }_{n?1})]$中能有幾個數字不為0。因為$P(t)$的階數是$k?1$，也就是說$c$中最多有$k?1$個零，也就是說最小的Hamming weight是$n?(k?1)$。

一個例子

考慮$GF(7)$上的(4,2)-RS code，這種code一共有$7^2=49$種，它們的生成矩陣是
$$G=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 3\end{array}\right]$$
假設message vector是$[1,2]$（信源編碼器的輸出），它的RS-code就是
$$mG=[1350]$$（噪聲信道的輸入）。假設噪聲信道的輸出為$R=[2,3,4,0]$，因為$d=n?k+1=3$，所以這個RS-code最多可以改掉$(d?1)/2=1$個error，經過噪聲信道傳輸后正好出現了一個error，所以在解碼的時候這個error可以被改掉。

總結

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