Fourier Series

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文章目錄

• Fourier Series
• • • 引
    • Orthogonal 正交化
    • Projection 投影
    • 性質/簡化運算
    • • Uniqueness 唯一性
      • 奇偶性
      • 收斂性
      • • 拓展：迪利克雷條件
    • 核心
    • 拓展 Extension
    • • 改變周期
      • 周期延拓
    • 具體解法
    • 系統響應

引

對于二階常系數非齊次ODE $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(t)$

將$f(t)$展開成傅里葉級數 （$f(t)$是周期函數）（ $T=2\pi$ ）
$$f(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)$$

分別求response 再根據疊加原理相加即可得到最終的response

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Orthogonal 正交化

兩個函數內積為0則正交(將函數當作向量)
$${\int }_{?\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx=0$$
$sin(nt),cos(nt)(n=1,...,\infty )$是線性空間上的一組標準正交基 任意兩不同向量內積都為0

PROOF

• 三角恒等式
• 復指數
• ODE

ODE PROOF

? let $m=n$ , $u_n,v_n$為正交基里任意兩個函數 滿足ODE $u^{\prime \prime }+n^{2}u=0$
$$\begin{gathered} {\int }_{?\pi }^{\pi }{u}_n^{\prime \prime }{v}_{m}dt=u_n^{\prime }{v}_m{|}_{?\pi }^{\pi }?{\int }_{?\pi }^{\pi }{u}_n^{\prime }{v}_m^{\prime }dt \\ =?{\int }_{?\pi }^{\pi }{u}_n^{\prime }{v}_m^{\prime }dt對稱 \\ =?n^2{\int }_{?\pi }^{\pi }{u}_n{v}_{m}dt根據ODE得到不對稱有n \end{gathered}$$
? 根據對稱性 ${\int }_{?\pi }^{\pi }{u}_n{v}_{m}dt$ 必為0

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Projection 投影

如何得到系數？-- 即計算f(t)在一個基向量上的投影
$$f(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)$$

兩邊同時點乘$cos(kt)$/$sin(kt)$ 處本身以外 其余項都為0
$$\begin{gathered} {\int }_{?\pi }^{\pi }f(t)cos(kt)dt=a_k{\int }_{?\pi }^{\pi }co{s}^2(kt)dt=\pi a_k \\ {\int }_{?\pi }^{\pi }f(t)sin(kt)dt=b_k{\int }_{?\pi }^{\pi }si{n}^2(kt)dt=\pi b_k \end{gathered}$$
即可得到$a_k$或$b_k$
$$\begin{gathered} a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(t)cos(kt)dt \\ {b}_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(t)sin(kt)dt \end{gathered}$$
關于$c_0$兩邊直接積分（相當于兩邊同乘了一個$cos(0t)$）
$$\begin{gathered} {\int }_{?\pi }^{\pi }f(t)dt=2\pi c_0 \\ {c}_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f(t)dt \end{gathered}$$
抑或是將$c_0$當作$\frac{a_0}{2}$ 就可以直接用通用的公式

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例子：求方波的傅里葉展開式

略

小技巧：先下移1/2轉換為奇函數 再上移

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性質/簡化運算

Uniqueness 唯一性

一個函數只有唯一一種傅里葉展開

when $f(t)=g(t)$, then $F.S.f(t)=F.S.g(t)$

奇偶性

如果$f(t)$是偶函數 則傅里葉級數只包含$cos(nt)$項 （所有$b_n$是0）
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(nt)$$

PROOF

by uniqueness of F.S.
$$\begin{gathered} f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)= \\ f(?t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(nt)?b_{n}sin(nt) \end{gathered}$$
so $b_n=?b_n$, $b_n=0$

同樣的，如果$f(t)$是奇函數 則傅里葉級數只包含$sin(nt)$項（所有$a_0$是0）

當$f(t)$是偶函數時，$f(t)cos(nt)$也是一個偶函數，所以：
$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)cos(nt)dt$$
奇函數的乘積還是奇函數，$f(t)sin(nt)$為奇when$f(t)$為奇，所以：
$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(t)sin(nt)dt$$

收斂性

若$f(t)$是連續函數，則傅里葉級數收斂于$f(t)$

若$f(t)$是不連續的函數，有跳躍間斷點，則在跳躍間斷點 傅里葉級數收斂于跳躍的中點 (左右極限的算數平均值)

拓展：迪利克雷條件

狄利克雷條件是一個信號存在傅里葉變換的充分不必要條件。即滿足狄利克雷條件，則必然可以傅里葉展開；但可以傅里葉展開不一定滿足狄利克雷條件。

• 在一周期內，連續或只有有限個第一類間斷點
• 在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個
• 在一周期內，信號是絕對可積的

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例子：求鋸齒波的傅里葉展開

略

小技巧：$cos(n\pi )=(?1{)}^n$

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核心

傅里葉級數嘗試兼顧整個區間 在整個區間上逼近， 而不是像泰勒級數 在一個點附近逼近

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拓展 Extension

改變周期

當周期是2L時
$$\begin{gathered} f(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(\frac{n\pi }{L}t)+b_{n}sin(\frac{n\pi }{L}t) \\ {a}_n=\frac{1}{L}{\int }_{?L}^{L}f(t)cos(\frac{n\pi }{L}t)dt \\ {b}_n=\frac{1}{L}{\int }_{?L}^{L}f(t)sin(\frac{n\pi }{L}t)dt \end{gathered}$$
when $f(t)$ is even
$$\begin{gathered} a_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(t)cos(\frac{n\pi }{L}t)dt \\ {b}_n=0 \end{gathered}$$
when $f(t)$ is odd
$$\begin{gathered} b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(t)sin(\frac{n\pi }{L}t)dt \\ {a}_n=0 \end{gathered}$$

周期延拓

傅里葉級數是針對有限區間的

針對非周期函數，取感興趣的一段當成周期函數

• 偶延拓

• 奇延拓

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具體解法

對于非阻尼二階常系數ODE
$$x^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}x=f(t)$$
當$f(t)$為三角函數$\{\begin{array}{c}cos({\omega }_{n}t)\\ sin({\omega }_{n}t)\end{array}$時，我們知道一個特解 $x_p=\{\begin{array}{c}cos({\omega }_{n}t)\\ sin({\omega }_{n}t)\end{array}/{\omega }_0^2?{\omega }_n^2$

所以，如果$f(t)$可以被傅里葉展開，
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos({\omega }_{n}t)+b_{n}sin({\omega }_{n}t)$$
則根據疊加原理我們可以得到一個特解response
$$x_p=f(t)=\frac{a_0}{2{\omega }_0^2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_{n}cos({\omega }_{n}t)+b_{n}sin({\omega }_{n}t)}{{\omega }_0^2?{\omega }_n^2}$$
其中$f(t)$的周期為$2L$, ${\omega }_n=\frac{n\pi }{L}$

另一種解法 待定系數$f(t)=c_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^{\prime }cos({\omega }_{n}t)+b_n^{\prime }sin({\omega }_{n}t)$ 帶入ODE對比

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系統響應

由上我們可知，當${\omega }_n$越接近系統的固有頻率時 系數越大 換句話說

系統不會對所有頻率做出同等響應 而是會pick out接近它固有頻率的頻率

有時會引起共振

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MIT_18.03_微分方程_Fourier_Series_傅里叶级数_Notes的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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