詳細版請參考：【Paper】2009_Controllability of Multi-Agent Systems from a Graph-Theoretic Perspective

文章目錄

• 5. Controllability analysis of single-leader networks
• • • • Proposition 5.1
      • Corollary 5.2
      • Proposition 5.3
      • Proposition 5.4
      • Proposition 5.5
  • 5.1 Controllability and graph symmetry
  • • • Definition 5.6
      • Definition 5.7
      • Proposition 5.8
      • Proposition 5.9
  • 5.2 Leader symmetry and graph automorphism
  • 5.3 Controllability of special graphs

$x_f\to x$
$x_l\to u$
$?{\mathcal{L}}_f\to A$
$?l_{fl}\to B$

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\text{\hspace{1em}(17)}$$

5. Controllability analysis of single-leader networks

Proposition 5.1

考慮一個 leader-follower 網絡（17）。這個系統是可控的 iff 不是所有 $A$ 的特征向量都同時正交于 $B$ 的所有列。此外，如果 $A$ 沒有不同的特征值，那么（17）也是不可控的。

如果 $A$ 完全正交于 $B$ 的所有列，那么系統微分方程組是線性相關的，從數學微分方程角度無法求得唯一解，那么也就是不可控的。

Corollary 5.2

系統（17）只有一個 leader 時，系統可控等價于 $A$ 特征向量不正交于 $1$ 向量。

Proposition 5.3

如果系統（17）是不可控的，那么存在一個 $A$ 的特征向量 $v$ 滿足 ${\sum }_{i～n}v(i)=0$。

Proposition 5.4

假設系統（17）是不可控的。那么存在一個 $\mathcal{L}(\mathcal{G})$ 的特征向量，這個特征向量有一個 0 分量，且是關于 leader 的索引。

Proposition 5.5

假設所有 $\mathcal{L}(\mathcal{G})$ 的特征向量都沒有 0 分量。那么系統（7）無論選擇哪一個 leader 都是可控的。

5.1 Controllability and graph symmetry

Definition 5.6

定義一個置換矩陣，在每一行和列有一個非零元素。

Definition 5.7

系統（17）是錨對稱的

Proposition 5.8

如果系統（17）是 leader 對稱的，那么不可控。

命題5.8表明了 leader 對稱是系統不可控的一個充分條件。這對研究 leader 不對稱是否會產生一個可控系統具有指導意義。

Proposition 5.9

leader 對稱不是一個系統不可控的充分條件。也就是說，系統不可控，并不一定表明系統是 leader 對稱的。

5.2 Leader symmetry and graph automorphism

Definition 5.10
Proposition 5.11

5.3 Controllability of special graphs

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2009_Controllability of Multi-Agent Systems from a Graph-Theoretic Perspective 精炼版的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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