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【控制】二阶 UGV 的无穷时间状态输入性能最优解算

發布時間：2025/4/5 编程问答 42 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【控制】二阶 UGV 的无穷时间状态输入性能最优解算小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

結合生活中常見實際情況可知，無人車的運行空間一般為二維平面。因此，假設無人車的動力學模型如下：

$p˙i=viv˙i=ui\begin{aligned} \dot{p}_i = v_i \\ \dot{v}_i = u_i \\ \end{aligned}$

這里， $pi∈R2p_i\in\mathbb{R}^2$ 表示UGV的位置狀態， $vi∈R2v_i\in\mathbb{R}^2$ 表示UGV的速度狀態， $ui∈R2u_i\in\mathbb{R}^2$ 表示UGV的控制輸入。

也可寫成狀態空間方程的形式：

$x˙i=Axi+Bui\dot{x}_i = A x_i + B u_i$

其中， $x_i = [p_i, v_i]^T$ ， $A=[0100]A=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]$ ， $B=[01]B=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right]$ 。

性能指標為：
$t_f + \frac{1}{2} \int_{0}^{t_f} u^2(t) dt$

初始狀態（橫截條件）為：
$p(0)=10p(tf)=0v(0)=1v(tf)=0\begin{aligned} &p(0) = 10 &p(t_f) = 0 \\ &v(0) = 1 &v(t_f) = 0 \\ \end{aligned}$

構建系統Hamilton函數
$\frac{1}{2} u^2(t) + \lambda_1 v + \lambda_2 u(t)$

正則方程
$p˙(t)=?H?λ1=vv˙(t)=?H?λ2=uλ˙1=??H?p=0?λ1=aλ˙2=??H?v=?λ1?λ2=?at+b\begin{aligned} &\dot{p}(t) = \frac{\partial H}{\partial \lambda_1} = v \\ &\dot{v}(t) = \frac{\partial H}{\partial \lambda_2} = u \\ &\dot{\lambda}_1 = -\frac{\partial H}{\partial p} = 0 \Rightarrow \lambda_1 = a\\ &\dot{\lambda}_2 = -\frac{\partial H}{\partial v} = -\lambda_1 \Rightarrow \lambda_2 = -a t + b \\ \end{aligned}$

因為 $u$ 是無約束的，因此有極值條件
$?H?u=u+λ2=0\frac{\partial H}{\partial u} = u + \lambda_2 = 0$

得出來 $u$ 的表達式
$\lambda_2 = at - b$

由 $u$ 的表達式做積分可得
$v=12at2?bt+cp=16at3?12bt2+ct+d\begin{aligned} v &= \frac{1}{2} a t^2 - b t + c \\ p &= \frac{1}{6} a t^3 - \frac{1}{2} b t^2 + c t + d \\ \end{aligned}$

結合橫截條件中的初態條件 $p (0) = 10, v (0) = 1$ 可得
$c=1d=10\begin{aligned} c &= 1 \\ d &= 10 \\ \end{aligned}$

由Hamilton函數在最優軌線末端應滿足的條件 $H(tf)=??φ?tfH(t_f) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f}$ 有
$H(tf)=12u2(t)+λ1v+λ2u(t)=12(atf?b)2+a(12atf2?btf+c)+(?atf+b)(atf?b)=??φ?tf=?1\begin{aligned} H(t_f) &= \frac{1}{2} u^2(t) + \lambda_1 v + \lambda_2 u(t) \\ &= \frac{1}{2} (at_f-b)^2 + a(\frac{1}{2}a t_f^2 - b t_f + c) + (-at_f + b)(at_f-b) \\ &= -\frac{\partial \varphi}{\partial t_f} \\ &= -1 \\ \end{aligned}$

再結合橫街條件中的末態條件 $p(t_f) = 0, v(t_f) = 0$ ，現在已經三個方程三個未知量，解方程即可
${12(atf?b)2+a(12atf2?btf+c)+(?atf+b)(atf?b)=?112atf2?btf+c=016atf3?12btf2+ctf+d=0\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{2} (at_f-b)^2 + a(\frac{1}{2}a t_f^2 - b t_f + c) + (-at_f + b)(at_f-b) = -1 \\ &\frac{1}{2} a t_f^2 - b t_f + c = 0 \\ &\frac{1}{6} a t_f^3 - \frac{1}{2} b t_f^2 + c t_f + d = 0 \\ \end{aligned}\right.$

利用Matlab解算方程組

syms a b tf eqns = [1/2*(a*tf-b)^2 + a*(1/2*a*tf^2-b*tf+1) + (-a*tf+b)*(a*tf-b) == -1,... 1/2*a*tf^2 - b*tf + 1==0,... 1/6*a*tf^3 - 1/2*b*tf^2 + tf + 10==0]; vars = [a b tf]; [a b tf] = solve(eqns, vars);double(a) double(b) double(tf)a = 0.4276 b = 1.6897 tf= 7.2589

解的最后結果為
${a=0.4276b=1.6897tf=7.2589\left\{\begin{aligned} &a = 0.4276 \\ &b = 1.6897 \\ &t_f = 7.2589 \\ \end{aligned}\right.$

因此，代入解算出來的參數，那么有最優
${tf?=7.2589u?(t)=0.4276t?1.6897v?(t)=0.2138t2?1.6897t+1p?(t)=0.0713t3?0.8448t2+t+10J?(t)=tf?+12∫0tf?u?2(t)dt\left\{\begin{aligned} &t_f^* = 7.2589 \\ &u^*(t) = 0.4276 t - 1.6897 \\ &v^*(t) = 0.2138 t^2 - 1.6897 t + 1 \\ &p^*(t) = 0.0713 t^3 - 0.8448 t^2 + t + 10 \\ &J^*(t) = t_f^* + \frac{1}{2} \int_{0}^{t_f^*} u^{*2}(t) dt \\ \end{aligned}\right.$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】二阶 UGV 的无穷时间状态输入性能最优解算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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