傅里葉系列（二）傅里葉變換的推導

我們先把傅里葉級數轉換為指數形式：
三角函數形式：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)]（1）$$

$$a_0=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt（2）$$

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos (n\omega t)dt（3）$$

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin (n\omega t)dt（4）$$

代入歐拉公式：
$$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$$

可以變形為：
$$\cos (\theta )=\frac{e^{i\theta }+e^{?i\theta }}{2}$$

$$\sin (\theta )=\frac{e^{i\theta }?e^{?i\theta }}{2i}=?i?\frac{e^{i\theta }?e^{?i\theta }}{2}$$

將 $\sin (\theta )、\cos (\theta )$ 代入傅里葉級數求得：

Ref: 傅里葉系列（二）傅里葉變換的推導

總結

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