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【数理知识】《积分变换与场论》王振老师-第5章-场论

發布時間：2025/4/5 编程问答 15 豆豆

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第5章-場論

- 5.1 場
- - 5.1.1 場的概念
  - - - 場 / 數量場 / 矢量場
      - 穩定場 / 不穩定場
  - 5.1.2 數量場與等值面
  - - - 等值面 / 等溫面 / 等位面
      - 隱函數存在定理
  - 5.1.3 矢量場與矢量線
  - - - 矢量線 / 矢量面 / 矢量管
- 5.2 方向導數與梯度
- - 5.2.1 方向導數
  - - - 平均變化率
      - 方向導數
  - 5.2.2 梯度的概念
  - 5.2.3 梯度的應用
- 5.3 散度與旋度
- - 5.3.1 散度
  - 5.3.2 旋度
  - 5.3.3 雅可比矩陣求散度和旋度
- 5.4 積分定理
- - 5.4.1 高斯散度定理
  - 5.4.2 斯托克斯定理
  - 5.4.3 格林定理
- 5.5 幾個重要的矢量場
- - 5.5.1 有勢場
  - 5.5.2 管形場
  - 5.5.3 調和場

5.1 場

5.1.1 場的概念

場 / 數量場 / 矢量場

穩定場 / 不穩定場

在數學上給定一個數量場就相當于給定了一個數性函數 $u = u (M)$ ；

同樣，給定了一個矢量場就相當于給定了一個矢性函數 $A = A (M)$ ，其中 $M$ 表示區域 $V$ 中的點。

5.1.2 數量場與等值面

等值面 / 等溫面 / 等位面

由隱函數存在定理知道，在函數 $u$ 為單值，且連續偏導數 $u_x, u_y, u_z$ 不全為零時，等值面一定存在。

隱函數存在定理

5.1.3 矢量場與矢量線

矢量線 / 矢量面 / 矢量管

5.2 方向導數與梯度

5.2.1 方向導數

$l$ 的單位向量可寫成
$l0=cos?αi+cos?βjl_0=\cos\alpha\ \mathbf{i} + \cos\beta\ \mathbf{j}$

平均變化率

$增量長度=Δzρ=f(M)?f(M0)∣M0M∣=f(x0+Δx,y0+Δy)?f(x0,y0)Δx2+Δy2(5.2.4)\frac{增量}{長度} = \frac{\Delta z}{\rho} = \frac{f(M) - f(M_0)}{|M_0M|}\\=\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} \tag{5.2.4}$

方向導數

當點 $M$ 沿射線 $l$ 趨向于點 $M_0$ 時，如果平均變化率的極限存在，則稱此極限值為函數 $z = f (x, y)$ 在點 $M_0$ 沿方向 $l_0$ 的方向導數，記作
$?z?l∣M0或fl′(M0)(5.2.5)\frac{\partial z}{\partial l}|_{M_0}\ 或\ f'_l(M_0) \tag{5.2.5}$

即
$?z?l∣M0=lim?M→M0f(M)?f(M0)∣M0M∣(5.2.6)\frac{\partial z}{\partial l}|_{M_0} = \lim_{M\rightarrow M_0}\frac{f(M)-f(M_0)}{|M_0M|} \tag{5.2.6}$

注意，方向導數和偏導數是兩個不同的概念。

如果函數 $z = f (x, y)$ 在點 $M_0(x_0, y_0)$ 處可微，則該函數在點 $M_0(x_0, y_0)$ 處沿任一方向 $l$ 的方向導數都存在，且有
$?z?l∣M0=?z?x∣M0cos?α+?z?y∣M0cos?β(5.2.8)\frac{\partial z}{\partial l}|_{M_0} =\frac{\partial z}{\partial x}|_{M_0}\ \cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y}|_{M_0}\ \cos\beta \tag{5.2.8}$

其中， $α\alpha$ 是 $x$ 軸正向到方向 $l$ 的夾角， $β\beta$ 是 $y$ 軸正向到方向 $l$ 的夾角（即 $l0=cos?αi+cos?βjl_0=\cos\alpha\ \mathbf{i} + \cos\beta\ \mathbf{j}$ ）

則將函數 $u = f (x, y, z)$ 在點 $M_0$ 沿方向 $l$ 的方向導數定義為
$?u?l∣M0=lim?ρ→0Δuρ=lim?ρ→0f(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)rho(5.2.9)\frac{\partial u}{\partial l}|_{M_0} = \lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\Delta u}{\rho} = \lim_{\rho\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)}{rho} \tag{5.2.9}$

其中， $ρ=Δx2+Δy2+Δz2\rho=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ ， $Δx=ρcos?α\Delta x = \rho\cos\alpha$ ， $Δy=ρcos?β\Delta y = \rho\cos\beta$ ， $Δz=ρcos?γ\Delta z = \rho\cos\gamma$ 。

類似地，當函數 $u = f (x, y, z)$ 在點 $M_0$ 處有連續偏導數時，該函數在點 $M_0$ 沿方向 $l$ 的方向導數為
$?u?l∣M0=?u?x∣M0cos?α+?u?y∣M0cos?β+?u?z∣M0cos?γ(5.2.10)\frac{\partial u}{\partial l}|_{M_0} = \frac{\partial u}{\partial x}|_{M_0}\ \cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}|_{M_0}\ \cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}|_{M_0}\ \cos\gamma \tag{5.2.10}$

當函數 $u$ 可微、曲線 $C$ 光滑時，函數 $u$ 沿 $l$ 方向的方向導數就等于函數 $u$ 對弧長 $s$ 的全導數，即有
$?u?l=duds(5.2.11)\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{du}{ds} \tag{5.2.11}$

5.2.2 梯度的概念

方向導數的計算公式為
$?u?l=?u?xcos?α+?u?ycos?β+?u?zcos?γ(5.2.16)\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z} \cos\gamma \tag{5.2.16}$

其中， $cos?α,cos?β,cos?γ\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 為方向 $l$ 的方向余弦，可看成單位矢量 $l0=cos?αi+cos?βjl_0=\cos\alpha\ \mathbf{i} + \cos\beta\ \mathbf{j}$ 的三個坐標（即 ( $cos?α,cos?β,cos?γ\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ )）。
若把上式右端的 $?u?x,?u?y,?u?z\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$ 也視為一個矢量 $G$ 的坐標，即
$\frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{k} \tag{5.2.17}$

則方向導數公式可以寫成 $G$ 與 $l_0$ 的內積：
$?u?x=G?l0=∣G∣cos?<G,l0>(5.2.18)\frac{\partial u}{\partial x} = G\cdot l_0 = |G|\cos<G,l_0> \tag{5.2.18}$

由此可見，矢量 $G$ 的方向就是函數 $u (M)$ 變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數值。我們把 $G$ 叫做函數 $u (M)$ 在給定點處的梯度。一般地，有如下定義。

若在數量場 $u (M)$ 中的一點 $M$ 處存在這樣一個矢量 $G$ ，其方向為函數 $u (M)$ 在點 $M$ 點處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數值。則稱矢量 $G$ 為函數 $u (M)$ 在點 $M$ 處的梯度，記作 $gradu\mathbf{grad}\ u$ 。

梯度的這個定義是與坐標系無關的，它是由數量場中數量 $u (M)$ 的分布所決定的。

上面，我們已經借助方向導數的公式找出了梯度在直角坐標系中的表達式為
$gradu=?u?xi+?u?yj+?u?zk(5.2.19)\mathbf{grad}\ u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k} \tag{5.2.19}$

梯度矢量兩個性質：
（1）函數 $u (M)$ 在點 $M$ 處沿方向 $l$ 的方向導數等于梯度在該方向上的投影，記作
$?u?l=gradlu=gradu?l0(5.2.20)\frac{\partial u}{\partial l} = \mathbf{grad}_l\ u = \mathbf{grad}\ u \cdot l_0 \tag{5.2.20}$

其中 $l_0$ 為 $l$ 方向的單位矢量。

（2）數量場 $u (M)$ 中每一點 $M$ 處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數 $u (M)$ 增大的一方。

我們把函數 $u (M)$ 的梯度寫成下面的形式：
$gradu=?u?xi+?u?yj+?u?zk=(??xi+??yj+??zk)u(5.2.21)\mathbf{grad}\ u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k} \\ = (\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k})u \tag{5.2.21}$

為方便，記作
$?=??xi+??yj+??zk(5.2.22)\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k} \tag{5.2.22}$

并稱之為向量微分算子或哈密頓算子或 $?\nabla$ 算子。

這樣，函數 $u (M)$ 的梯度可簡單地表示成
$gradu=?u(5.2.23)\mathbf{grad} \ u = \nabla u \tag{5.2.23}$

5.2.3 梯度的應用

5.3 散度與旋度

5.3.1 散度

5.3.2 旋度

5.3.3 雅可比矩陣求散度和旋度

5.4 積分定理

5.4.1 高斯散度定理

5.4.2 斯托克斯定理

5.4.3 格林定理

5.5 幾個重要的矢量場

5.5.1 有勢場

5.5.2 管形場

5.5.3 調和場

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《积分变换与场论》王振老师-第5章-场论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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