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第7章-幾類特殊矩陣與特殊積

• • 7.1 非負矩陣
  • • 7.1.1 非負矩陣與正矩陣
    • • 定理 7.1.3 （譜半徑的單調性）
      • 定理 7.1.4 （佩龍 (Perron) 定理）
    • 7.1.2 不可約非負矩陣
    • • 定義 7.1.2 （可約與不可約矩陣）
      • 定理 7.1.9 （佩龍-弗羅貝尼烏斯 (Perron-Frobenius) 定理）
    • 7.1.3 素矩陣與循環矩陣
  • 7.2 隨機矩陣與雙隨機矩陣
  • 7.3 單調矩陣
  • 7.4 $M$ 矩陣與 $H$ 矩陣
  • • 7.4.1 $M$ 矩陣
    • • 定義 7.4.1
    • 7.4.2 $H$ 矩陣
  • 7.5 $T$ 矩陣與漢克爾矩陣
  • 7.6 克羅內克積
  • • • 定義 7.6.1
    • 7.6.1 克羅內克積的概念
    • 7.6.2 克羅內克積的性質
  • 7.7 阿達馬積
  • 7.8 反積及非負矩陣的阿達馬積
  • 7.9 克羅內克積應用舉例
  • • 7.9.1 矩陣的拉直
    • 7.9.2 線性矩陣方程的解

7.1 非負矩陣

注意：非負矩陣和正矩陣的概念與非負定矩陣和正定矩陣的概念是不同的。

正定矩陣相關解釋可參考：【數理知識】標量函數、二次型函數、矩陣、正定負定半正定半負定

7.1.1 非負矩陣與正矩陣

對于任意的 $A=(a_{ij})\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$，引進記號
$$|A|=(|a_{ij}|)\text{\hspace{1em}(7.1.2)}$$

即表示以 $a_{ij}$ 之模 $|a_{ij}|$ 為元素所得的非負矩陣；特別地，當 $x=(x_1,?,x_n{)}^T\in {\mathbb{C}}^n$ 時，$|x|=(|x_1|,?,|x_n|{)}^T$ 表示一個非負向量。

注意，這里使用的記號 $|A|$ 與 $|x|$，不要與前面講的“方陣的行列式”和“向量的長度”概念混淆。

定理 7.1.3 （譜半徑的單調性）

設 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，若 $|A|\le B$，則
$$\rho (A)\le \rho (|A|)\le \rho (B)\text{\hspace{1em}(7.1.3)}$$

定理 7.1.4 （佩龍 (Perron) 定理）

設 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，且 $\rho (A)$ 為其譜半徑，若 $A>0$（正矩陣），則
（1）$\rho (A)$ 為 $A$ 的正特征值，其對應的一個特征向量 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 必為正向量；
（2）對 $A$ 的任何其他特征值 $\lambda$，都有 $|\lambda |<\rho (A)$；
（3）$\rho (A)$ 是 $A$ 的單特征值。

7.1.2 不可約非負矩陣

定義 7.1.2 （可約與不可約矩陣）

設 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}(n\ge 2)$，若存在 $n$ 階置換矩陣 $P$，使
$$PA{P}^T=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7.1.20)}$$

其中， $A_{11}$ 為 $r$ 階方陣，$A_{22}$ 為 $n?r$ 階方陣（$1\le r<n$），則稱 $A$ 為可約（可分）矩陣，否則稱 $A$ 為不可約矩陣。

定理 7.1.9 （佩龍-弗羅貝尼烏斯 (Perron-Frobenius) 定理）

設 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是不可約非負矩陣，則
（1）$A$ 有一正實特征值恰等于它的譜半徑 $\rho (A)$，并且存在正向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$，使得 $Ax=\rho (A)x$；
（2）$\rho (A)$ 是 $A$ 的單特征值；
（3）當 $A$ 的任意元素（一個或多個）增加時，$\rho (A)$ 增加。

英文版的 Perron-Frobenius Theorem 參考 On constructing Lyapunov functions for multi-agent systems

7.1.3 素矩陣與循環矩陣

7.2 隨機矩陣與雙隨機矩陣

7.3 單調矩陣

7.4 $M$ 矩陣與 $H$ 矩陣

1937年，奧斯喬斯基（Ostrowski）發現一類具有特殊構造的矩陣，其非對角元素（$i=j$）$a_{ij}\le 0$，即這種矩陣 $A$ 都可以表示為 $A=sI?B$，且 $s>0,B\ge 0$，故稱這種矩陣與非負矩陣有一定的聯系，稱為閔可夫斯基（Minkovski）矩陣，簡稱 $M$ 矩陣。

7.4.1 $M$ 矩陣

定義 7.4.1

設 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ ，且可表示為
$$A=sI?B,s>0,B\ge 0\text{\hspace{1em}(7.4.1)}$$

若 $s\ge \rho (B)$，則稱 $A$ 為 $M$ 矩陣；若 $s>\rho (B)$，則稱 $A$ 為非奇異 $M$ 矩陣。

7.4.2 $H$ 矩陣

7.5 $T$ 矩陣與漢克爾矩陣

7.6 克羅內克積

定義 7.6.1

設 $A=(a_{ij})\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$，$B=(b_{ij})\in {\mathbb{C}}^{p\times q}$，則稱如下的分塊矩陣
$$A?B=?\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& ?& a_{1n}B\\ a_{21}B& a_{22}B& ?& a_{2n}B\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{m1}B& a_{m2}B& ?& a_{mn}B\end{array}?\in {\mathbb{C}}^{mp\times nq}$$

為 $A$ 的克羅內克（Kronecker）積，或稱 $A$ 與 $B$ 的直積，或張量積，簡記為 $A?B=(a_{ij}B{)}_{mp\times nq}$。即 $A?B$ 是一個 $m\times n$ 塊的分塊矩陣，最后是一個 $mp\times nq$ 矩陣。

擴展：Matlab 計算克羅內克積函數 Kron(A,B)

【數理知識】kronecker 克羅內克積

7.6.1 克羅內克積的概念

7.6.2 克羅內克積的性質

7.7 阿達馬積

7.8 反積及非負矩陣的阿達馬積

7.9 克羅內克積應用舉例

7.9.1 矩陣的拉直

7.9.2 線性矩陣方程的解

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第7章-几类特殊矩阵与特殊积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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