Fax J A, Murray R M. Information flow and cooperative control of vehicle formations[J]. IEEE transactions on automatic control, 2004, 49(9): 1465-1476.

Information Flow and Cooperative Control of Vehicle Formations

• Who 簡介
• Algorithm / Theorem 算法定理
• • Theorem1.
  • Theorem2.(Perron-Frobenius)
  • Theorem3.
  • Proposition 1.
  • Proposition 2.
  • Proposition 3.
  • Proposition 4.
  • Theorem 4.
  • Lemma 5.
  • Theorem 6.
  • Theorem 7.
  • Lemma 8.
  • Lemma 9.
  • Theorem 10.
  • Theorem 11.
  • Theorem 12.
  • Theorem 13.
• Terminology 專業(yè)術(shù)語及解釋
• • 1. aperiodic graph ---> primitive
  • 2. k-periodic ---> imprimitive, or cyclic of index k
  • 3. multiplicity （根的）重?cái)?shù)
  • 4. Schur transformation 舒爾分解
  • 5. Stability margins 穩(wěn)定裕度
  • 6. Periodic
  • 7. Periodicity
  • 8. Symmetry
  • 9. Perron disk
  • 10. Aperiodicity
  • 11. neutrally stable
  • 12. Negative inverse 負(fù)倒數(shù)
  • 13. offset
• Proof 證明
• Conclusions 亮點(diǎn)總結(jié)

Who 簡介

Algorithm / Theorem 算法定理

Theorem1.

有 $n$ 階非負(fù)矩陣 $A$，下述 4 個(gè)條件是等價(jià)的：

$A$ 是不可簡約的；

$A^T$ 是不可簡約的；

圖 $G$ 強(qiáng)連通的；

$(I_n+A{)}^{n?1}>0$。

Theorem2.(Perron-Frobenius)

令 $A$ 是非負(fù)的，不可簡約矩陣，下述 4 個(gè)條件是真的，$\rho (A)>0$ 是矩陣的譜圖半徑 (Spectral radius)：

$\rho (A)>0$；

$\rho (A)$是簡單特征值，那么所有具有相等模的特征值也是簡單的；

矩陣有一個(gè)關(guān)于 $\rho (A)$ 的正特征向量 $x$ ；

$B>A?\rho (B)>\rho (A)$。

更進(jìn)一步，如果 $A$ 是原始的 (primitive)，那么矩陣 $A$ 的所有非 $\rho (A)$ 特征值有嚴(yán)格小于 $\rho (A)$ 的模。

Theorem3.

非負(fù)、不可簡約矩陣 $A$，有索引為 $k$ 的環(huán)，那么就有 $k$ 個(gè)模為 $\rho (A)$ 的特征值等于：

$${\lambda }_i=\rho (A)e^{\frac{2\pi j}{k}i},i=0,?,k?1.$$

Proposition 1.

0是拉普拉斯矩陣的特征值

Proposition 2.

所有特征值都在圓心為 $1+0j$，半徑為 $1$ 的圓內(nèi)

Proposition 3.

如果圖示強(qiáng)連通的，0特征值是單一的 (simple)；如果圖是周期的 (aperiodic)，所有非零特征值都位于 Perron disk 的內(nèi)部；如果圖是 (k-periodic) 的，矩陣有位于 Perron disk 邊界的 k 平均排列特征值。

Proposition 4.

如果圖是無向的，所有特征值都是實(shí)數(shù)。

Theorem 4.

控制器 $K(s)$ 滿足以下條件時(shí)，能穩(wěn)定方程（10）中的系統(tǒng)，
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =P_{A}x+P_{B}u\\ y& =P_{C_1}x\\ z& ={\lambda }_i{P}_{C_2}x\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

Lemma 5.

定義 $X$ 是一個(gè) $r\times s$ 的矩陣，$Y$ 是一個(gè) $N\times N$ 的矩陣，那么
$$\hat{X}{Y}_{(s)}=Y_{(r)}\hat{X}$$

Theorem 6.

假設(shè) $P(s)=P_{C_2}(sI?P_A{)}^{?1}{P}_B$ 是 SISO 系統(tǒng)。那么當(dāng) $K(s)P(s)$ 的奈氏圖對(duì)所有特征值都不形成 $?{\lambda }^{?1}$ 的包圍時(shí)，控制器 $K(s)$ 能穩(wěn)定系統(tǒng)。

Theorem 7.

當(dāng)
$$\rho (C(j\omega ))<M^{?1}?\omega \in (?\infty ,\infty )$$

時(shí)，$K(s)$ 能穩(wěn)定 MIMO 系統(tǒng) $P(s)$。

Lemma 8.

$$G^j=E+(G?E{)}^j$$

Lemma 9.

$G?E$ 的特征值，等價(jià)于 $G$ 的 Perron 特征值替換一個(gè) 0 特征值得到。

Theorem 10.

假設(shè)圖 $G$ 是強(qiáng)連通 (strongly connected) 且非周期 (aperiodic) 的，并且輸入 $y_k$ 在有限時(shí)間固定。那么公式（23）離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值在 $p_0=0$ 時(shí)等于：
$$p_{ss}^i=y^i?\sum _{j=1}^N{e}_l^j{y}^j$$

這里 $e_l^i$ 是 $G$ 的左 Perron 特征向量的第 $i$ 個(gè)元素，同比縮小為 $\sum e_l^i=1$。

Theorem 11.

公式（31）的系統(tǒng)是中立 (neutrally) 穩(wěn)定的，如果傳遞函數(shù)
$$F(z)=\frac{{\sum }_{j=0}^R{b}_j{z}^{R?j}}{z^{R+1}?{\sum }_{j=0}^R(a_j+b_j)z^{R?j}}\text{\hspace{1em}(32)}$$

是中立 (neutrally) 穩(wěn)定的，且它的奈氏圖 (Nyquist plot) 沒有對(duì)任何 $L$ 的非零特征值負(fù)倒數(shù)形成包圍。

Theorem 12.

如果 $F(z)$ 在定理 11 的意義下使 $L$ 穩(wěn)定，那么在下述假設(shè)下：
$$p_{ss}=c(I?cE?(1?c)(I?c(G?E){)}^{?1}G)y$$

這里 $a={\sum }_{j=0}^R{a}_j$，$b={\sum }_{j=0}^R{b}_j$，$c=\frac{b}{1?a}$。

Theorem 13.

選擇 $H(z)$ 為
$$H(z)=\frac{1}{F(z)+1}\text{\hspace{1em}(41)}$$

并假設(shè)反饋連接 $P(z)$ 和 $K(z)$ 是適定的。那么當(dāng)定理11中的 $F(z)$ 能穩(wěn)定 $L$ 和 $K(z)$ 穩(wěn)定 $P(z)$ 時(shí)，系統(tǒng)是相對(duì)穩(wěn)定的。

Terminology 專業(yè)術(shù)語及解釋

1. aperiodic graph —> primitive

A directed graph is aperiodic if the greatest common divisor of the lengths of its cycles is one (there is no integer k>1 that divides the length of every cycle of the graph).
如果一個(gè)有向圖的圈的是長度的最大公約數(shù)是1，那么這個(gè)有向圖就是非周期的（不存在整數(shù) k>1 可以除以圖的每個(gè)循環(huán)的長度）。

左邊的圖共有兩個(gè)cycles，上面的period=5，下面的period=6，因此最大公因數(shù)=1，是非周期圖 (aperiodic graph)；而右邊的圖，三個(gè)cycle的period=3，另一個(gè)period=6，因此最大公因數(shù)是3，就不是非周期圖 (aperiodic graph)

From: Fly~

2. k-periodic —> imprimitive, or cyclic of index k

3. multiplicity （根的）重?cái)?shù)

4. Schur transformation 舒爾分解

詳見：【數(shù)理知識(shí)】第1章-矩陣的幾何理論-《矩陣論》方保镕

5. Stability margins 穩(wěn)定裕度

詳見：P7 頻域分析法-《Matlab/Simulink與控制系統(tǒng)仿真》程序指令總結(jié)

6. Periodic

7. Periodicity

8. Symmetry

9. Perron disk

10. Aperiodicity

11. neutrally stable

12. Negative inverse 負(fù)倒數(shù)

13. offset

Proof 證明

Conclusions 亮點(diǎn)總結(jié)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2004_Information Flow and Cooperative Control of Vehicle Formations的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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