多智體控制

• 多智體一致性控制
• • 圖論
  • • 1. 無向圖、有向圖、同構(gòu)圖
    • 2. 鄰接表、鄰接矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣
    • 3. 連通性
  • 圖論矩陣
  • • 1. 度矩陣
    • 2. 鄰接矩陣
    • 3. 拉普拉斯矩陣
    • 4. 拉氏矩陣的性質(zhì)
    • 5. 蓋爾圓盤定理
    • 6. 代數(shù)連通度
  • 一致性控制
  • • 1. 動力學狀態(tài)
    • 2. 控制協(xié)議
    • 3. 李雅普諾夫

多智體一致性控制

多智體動力學方程主要由兩部分組成：

動力學狀態(tài)（如一階積分器）

控制協(xié)議（如最簡單的基于鄰居協(xié)議）

判斷是否趨近：

采用微分方程的思想

李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

圖論

$Z$-矩陣: 非對角元素為非正實數(shù)的矩陣.
$M$-矩陣: 所有特征值的實部為非負實數(shù)的$Z$-矩陣

給定一個節(jié)點集 合$V$ 和 這些節(jié)點形成的邊集合 $E$, 就構(gòu)成了一個圖 $G:=(V,E)$.

如果 $E$ 中的邊沒有方向, 就稱 $G$ 為無向圖(undirected graph)；如果 有方向, 則稱 $G$ 為有向圖(directed graph).

如果 $E$ 中的每條邊有一個權(quán)重值, 則稱 $G$ 為帶權(quán)圖(weighted graph); 如果沒有, 則稱 $G$ 為無權(quán)圖(unweighted graph).

如果 $G$ 中任一個節(jié)點 $v_i$ 都沒有指向自身的邊, 或者多于1條指向另外一個節(jié)點$v_j$的邊, 則稱 $G$ 為簡單圖(simple graph) , 否則稱為非簡單圖(nonsimple graph).

圖 $G$ 中如果任意兩個節(jié)點都存在一條路徑, 則稱 $G$ 為連通圖(Connected Graph).

圖 $G$ 的連通分量(Connected Component)是$G$的一個最大連通子圖.

正則圖(Regular Graph)中每個節(jié)點的度是一樣的.

1. 無向圖、有向圖、同構(gòu)圖

2. 鄰接表、鄰接矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣

3. 連通性

圖論矩陣

1. 度矩陣

2. 鄰接矩陣

3. 拉普拉斯矩陣

給定一個無向, 無權(quán)的簡單圖 $G=(V,E)$, $n=|V|$ 表示節(jié)點個數(shù), Laplacian 矩陣 $L$ 一個定義如下 $n\times n$矩陣

$$L=D?A$$

其中 $D$ 是 $G$ 的度矩陣(degree matrix), 它為對角矩陣, 且$D_{i,i}$為節(jié)點 $v_i$的度; $A$ 為 $G$ 的鄰接矩陣(adjacency matrix), 如果節(jié)點 $v_i$ 和 $v_j$ 之間存在一條邊 $\in E$, 則 $A_{i,j}=A_{j,i}=1$, 否則 $A_{i,j}=A_{j,i}=0$, 可見 $A$ 是一個對稱矩陣.

4. 拉氏矩陣的性質(zhì)

給定一個無向圖 $G$, 設(shè)它的 Laplacian 矩陣 $L$ 的特征值為 ${\lambda }_0\le {\lambda }_1?{\lambda }_{n?1}$:

• $L$ 是一個對稱矩陣.
• $L$ 是半正定的, 由對稱和對角占優(yōu)可以證明.
• $L$ 是一個 $M$ 矩陣.
• $L$ 的行和\列和都為0, 所以0是$L$的特征值, 對應特征向量 為 $n$ 維向量 $(1,1,1,\dots ,1)$.
• $L$ 的特征值中 0 出現(xiàn)的次數(shù)為連通子圖的個數(shù).
• $L$ 最小的非零的特征值稱為 $L$ 的譜隙(spectral gap).
• $L$ 第二最小的特征值稱為 $G$ 的代數(shù)連通度(algebra connectivity).

From: 圖論與Laplacian 矩陣

5. 蓋爾圓盤定理

【控制】蓋爾圓盤定理

【Matlab 控制】繪制蓋爾圓

6. 代數(shù)連通度

連通的充要條件是圖中有一個生成樹；也等價于代數(shù)連通度大于（不能等于）0。

一致性控制

1. 動力學狀態(tài)

2. 控制協(xié)議

3. 李雅普諾夫

Multi-Agent System控制(1)圖論

Multi-Agent System控制(2)圖論中的矩陣

Multi-Agent System控制(3)一致性控制

多智能體系統(tǒng)一致性和穩(wěn)定性有什么區(qū)別與聯(lián)系？

《離散數(shù)學及其應用》第五版（中文）-Kenneth H. Rosen

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】多智体系统一致性基础知识的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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