通信原理第二章 隨機(jī)信號(hào)分析

一 隨機(jī)過(guò)程

定義

測(cè)試n臺(tái)性能相同的接收機(jī)，在同樣條件下，不加信號(hào)測(cè)試其輸出噪聲，波形如圖

（１）每一條曲線 ${\xi }_i(t)$ 都是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)——樣本函數(shù)（確知信號(hào)），${\xi }_i(t)$ 稱之為隨機(jī)過(guò)程$\xi (t)$的一個(gè)實(shí)現(xiàn)／樣本。這是對(duì)于其中一臺(tái)接收機(jī)觀察。

（２）全體樣本函數(shù)的集合稱作隨機(jī)過(guò)程 $\xi (t)$。
$$\xi (t)=\{{\xi }_1(t),{\xi }_2(t),...,{\xi }_n(t)\}$$

（３）在某一特定時(shí)刻 $t_1$觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值 $\xi (t_1)$ ，此時(shí)所有的輸出噪聲值是隨機(jī)過(guò)程$\xi (t)$一個(gè)隨機(jī)量（隨機(jī)變量)：
$$\xi (t_1)=\{{\xi }_1(t_1),{\xi }_2(t_1),...,{\xi }_n(t_1)\}$$

因此，隨機(jī)過(guò)程 ξ( ｔ) 是由無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的。
$$\xi (t)=\{\xi (t_1)+\xi (t_2)+...+\xi (t_n)+...\}$$

數(shù)字特征

名稱定義含義

均值	$a(t)=E[\xi (t)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }x{f}_1(x,t)dx$	隨機(jī)過(guò)程的擺動(dòng)中心； 均值的平方是直流功率
均方值	$E[{\xi }^2(t)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}^2{f}_1(x,t)dx$	隨機(jī)過(guò)程的平均功率
方差	$D[\xi (t)]=E\{[\xi (t)?a(t){]}^2\}=E[{\xi }^2(t)]?a^2(t)={\sigma }^2(t)$	隨機(jī)過(guò)程的交流功率，相對(duì)于均值的振動(dòng)程度
自相關(guān)函數(shù)	$R(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\xi (t_2)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }{\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}_1{x}_2{f}_2(x_1,x_2;t_1,t_2)d{t}_{1}d{t}_2=R(t_1,t_1+\tau )$	同一隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度
互相關(guān)函數(shù)	$R_{\xi \eta }(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\eta (t_2)]=R_{\xi \eta }[t_1,t_1+\tau ]$	兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度

平均功率=直流功率+交流功率

上表中$\xi (t)$是隨機(jī)變量，其中的$t$取任意時(shí)刻.

二 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

名稱定義性質(zhì)

嚴(yán)平穩(wěn)	隨機(jī)過(guò)程 $\xi (t)$ 的任意 ｎ維分布與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)	一維分布與時(shí)間t無(wú)關(guān)；二維分布只與時(shí)間間隔$\tau$有關(guān)
廣義平穩(wěn)	$a(t)=a，R(t_1,t_1+\tau )=R(\tau )$	數(shù)學(xué)期望是個(gè)常數(shù)，和時(shí)間t無(wú)關(guān)；自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔$\tau$有關(guān)
兩者關(guān)系	嚴(yán)平穩(wěn)一定是廣義平穩(wěn)	廣義平穩(wěn)不一定是嚴(yán)平穩(wěn)

各態(tài)歷經(jīng)性

任取平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 $\xi (t)$的任一樣本函數(shù) $x(t)$,其時(shí)間均值和時(shí)間自相關(guān)滿足
$$\overline{a}=\overline{x(t)}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}x(t)dt=a$$
$$\overline{R(\tau )}=\overline{x(t)x(t+\tau )}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}x(t)x(t+\tau )dt=R(\tau )$$
則稱平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 $\xi (t)$具有各態(tài)歷經(jīng)性。

意義：可用任意一次實(shí)現(xiàn)的“樣本平均”來(lái)取代隨機(jī)過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均”，可用任意一次實(shí)現(xiàn)的功率譜密度來(lái)取代隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，簡(jiǎn)化測(cè)量和計(jì)算問(wèn)題；具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，反之不一定成立。

三 高斯過(guò)程

（１）定義：任意 ｎ維概率密度都服從正態(tài)分布的隨機(jī)過(guò)程。
（２）重要性質(zhì)：

高斯過(guò)程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn)；
高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量之間若不相關(guān)，則它們統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；
若干個(gè)高斯過(guò)程之和仍是高斯過(guò)程；
高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過(guò)程。

均值為a，方差為${\sigma }^2$的高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)

當(dāng)均值a=0，標(biāo)準(zhǔn)擦$\sigma =1$時(shí)，稱$f(x)$為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

下面給出一些常用的求通信系統(tǒng)的誤碼率的函數(shù)
Q函數(shù)、誤差函數(shù)、互補(bǔ)誤差函數(shù)，定義如下

$Q(\alpha )$的幾何意義如下：表示大于等于$\alpha$的概率

四.窄帶隨機(jī)過(guò)程

1.定義和表達(dá)式
窄帶隨機(jī)過(guò)程是指其頻帶寬度$\Delta f$遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于中心頻率$f_c$的過(guò)程。用示波器觀察它的波形，是一個(gè)頻率近似$f_c$，包絡(luò)$a_{\xi }(t)$和相位${?}_c(t)$ 隨機(jī)緩變的正弦波。
窄帶隨機(jī)過(guò)程的一般表示式：
$$\xi (t)=a_{\xi }(t)cos[w_{c}t+{?}_{\xi }(t)]$$
等價(jià)式
$$\xi (t)={\xi }_c(t)cos{w}_{c}t?{\xi }_s(t)sin{w}_{c}t$$
式中${\xi }_c(t)$和${\xi }_s(t)$意思如下：
同相分量$${\xi }_c(t)=a_{\xi }(t)cos{?}_{\xi }(t)$$
正交分量
$${\xi }_s(t)=a_{\xi }(t)sin{?}_{\xi }(t)$$

2.統(tǒng)計(jì)特性
窄帶隨機(jī)過(guò)程$\xi (t)$的統(tǒng)計(jì)特性可有$a_{\xi }(t)$,${?}_{\xi }(t)$來(lái)決定，或者由${\xi }_c(t)$和${\xi }_s(t)$的統(tǒng)計(jì)特性決定。反過(guò)來(lái)，可以由$\xi (t)$的統(tǒng)計(jì)特性可確定$a_{\xi }(t)$,${?}_{\xi }(t)$的統(tǒng)計(jì)特性，或者${\xi }_c(t)$和${\xi }_s(t)$的統(tǒng)計(jì)特性。

下面給出兩個(gè)重要的結(jié)論

• 一個(gè)均值為0，方差為${\sigma }_{?}^2$的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程$\xi (t)$,它的同相分量${\xi }_c(t)$，正交分量${\xi }_s(t)$同樣是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且均值都為零，方差也相同。另外，在同一時(shí)刻得到的同相分量${\xi }_c(t)$和正交分量${\xi }_s(t)$是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。
  數(shù)學(xué)公式為
  

• 一個(gè)均值為0，方差為${\sigma }_{?}^2$的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程$\xi (t)$,其包絡(luò)$a_{\xi }(t)$的一維分布是瑞利分布，相位${?}_{\xi }(t)$的一維分布是均勻分布，且就一維分布而言，$a_{\xi }(t)$和${?}_{\xi }(t)$是相互獨(dú)立的。
  數(shù)學(xué)表述為
  

3.白噪聲
凡是功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱為白噪聲。
白噪聲的功率譜密度為
$$P_{\xi }(w)=\frac{n_0}{2}$$
由于$R(\tau )?P_{\xi }(w)$,且$\delta (\tau )?1$
白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為
$$R(\tau )=\frac{n_0}{2}\delta (\tau )$$

由上面自相關(guān)表達(dá)式，我們知道，白噪聲只有在$\tau =0$的時(shí)候才相關(guān)，它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。

這里補(bǔ)充一點(diǎn)，以后討論的熱噪聲和散彈噪聲都視為白噪聲。

4.帶限白噪聲
白噪聲被限制在$(?f_0,f_0)$內(nèi)，則這樣的白噪聲被稱為帶限白噪聲。
功率譜密度

自相關(guān)函數(shù)

五.正弦波加窄帶高斯過(guò)程

通信系統(tǒng)中經(jīng)常會(huì)遇到正弦波加窄帶高斯噪聲的情況。
考慮窄帶高斯噪聲的一般表達(dá)式
$$\xi (t)={\xi }_c(t)cos{w}_{c}t?{\xi }_s(t)sin{w}_{c}t$$

得到正弦波+窄帶高斯噪聲的時(shí)域表達(dá)式

其中，s(t)表示正弦波，n(t)表示窄帶高斯噪聲

六.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)

設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是$h(t)$，輸入為${\xi }_i(t)$，則輸出為
$${\xi }_o(t)={\xi }_i(t)?h(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }h(\tau ){\xi }_i(t?\tau )d\tau ={\int }_{?\infty }^{\infty }{\xi }_i(\tau )h(t?\tau )d\tau$$

因?yàn)橄到y(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，有
這是要保證系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)為正值。

輸出信號(hào)的均值

輸出信號(hào)的功率譜密度

參考資料：樊昌信《通信原理》考點(diǎn)精講

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的通信原理随机信号分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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