《通信網絡基礎》馬爾可夫鏈中期望的計算
本文解決二如下公式的計算問題
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n(1?\rho )=?$$

系統穩態的概率
$$p_n={\rho }^n{p}_0$$
并且
$$p_0=1?\rho$$
則
$$p_n={\rho }^n(1?\rho )$$

下面求系統內的平均用戶數為N
$$N=\sum _{n=0}^{\infty }n{p}_n=\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n(1?\rho )=\frac{\rho }{1?\rho }$$

存在問題的是哪一步呢？
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=?$$
我們將其展開
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=\rho +2{\rho }^2+3{\rho }^3+...+(n?1){\rho }^{n?1}+n{\rho }^n+...$$

其實，這是高中所學求和公式的一種。
哪一種？
$$等差數列?等比數列$$
等差數列*等比數列求和的解決方法是什么呢？
錯位相減法

令
$$S=\rho +2{\rho }^2+3{\rho }^3+...+(n?1){\rho }^{n?1}+n{\rho }^n(1)$$

兩邊同乘公比$\rho$,有：
$$\rho S=0+{\rho }^2+2{\rho }^3+...+(n?2){\rho }^{n?1}+(n?1){\rho }^n+n{\rho }^{n+1}(2)$$
(1)式-(2)式有

$$(1?\rho )S=\rho +{\rho }^2+{\rho }^3+...+{\rho }^{n?1}+{\rho }^n?n{\rho }^{n+1}=\frac{\rho }{1?\rho }?n{\rho }^{n+1}$$
則
$$S=\frac{\rho }{{(1?\rho )}^2}?\frac{n{\rho }^{n+1}}{1?\rho }$$
當$n\to +\infty$時,由于$\rho <1,$
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n{\rho }^{n+1}}{1?\rho }=0$$
這是因為指數函數 ${\rho }^{x+1}(\rho <1)$ 的變化速度比線性函數 $x$ 的變化速度快得多

因此
$$S=\frac{\rho }{{(1?\rho )}^2},n\to +\infty$$
即：
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=\frac{\rho }{{(1?\rho )}^2}$$

所以有
$$N=\sum _{n=0}^{\infty }n{p}_n=\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n(1?\rho )=\frac{\rho }{1?\rho }$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【级数】【马尔科夫链】n乘以x的n次方的和函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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