依舊的祖傳開頭：事先說明：筆者初三，如在敘述中有不嚴謹的地方，還請諸位指出，自當感激不盡。

（想和大家嘮個嗑：由于疫情影響，不能提前去高中上課，目前在初中陪同學準備中考，學業實在繁忙，更文力不從心，還請見諒QAQ）

在敘述旋轉雙曲線的問題之前，我必須介紹一下仿射變換：

通俗地說，在平面坐標系內，仿射變換就是對一堆向量進行放大縮小的變換。

例如：一個單位圓x2＋y2＝1，如果將這個圓在水平方向上拉伸兩倍，使得新的{x’=2x，y’=y}，那么明顯這個圖形就變成了x’2/4＋y’2=1，也就是橢圓。在幾何直觀上，也同樣非常好理解。

在仿射變換中，由于改變的只是向量的方向、長度，而且是所有的向量同時發生變換，可以得到以下結論：

1.定比分點仍然成立。2.直線的平行關系仍然成立。3.直線與曲線之間的相切、相交、相離等關系仍然成立。4.若變換中{x’=λx，y’=μy}，則有S’=λμS

5.k’＝μ/λk

值得注意的是：角度的變換在仿射變換中相對復雜，所以一般不會關于角的關系使用仿射變換求解。

對于橢圓，仿射變換的意義，在于可以利用圓的性質來探究橢圓的性質了：（例如）

（高中奧數教程第二分冊橢圓例8）已知橢圓C1：x2/a2+y2/b2=1，不過原點的直線l和橢圓相交于A、B

（1）求S△oabmax

（2）試求一橢圓C2，使對于C2的每一條切線和橢圓C1均相交，設交于AB兩點，且S△oab恰取最大值？

我給出個人解法：

（1）：對C1進行一次變換，使{x’=x/a，y’=y/b}于是產生了一個單位圓x’2＋y’2＝1

易知OA’=OB'=1，則當OA‘⊥OB'時，S△oa‘b‘max=?。又S△oa‘b‘max=S△oabmax/ab，∴S△oabmax=?ab，甚至免去了對直線斜率的討論。

（2）：不妨先對仿射后的C'1和C’2進行分析：

當OA‘⊥OB'時，明顯O到A'B'的距離為√2/2，又∵對于圓，圓心到切線距離等于半徑，則明顯滿足題意的圓是x‘2＋y'2=?，對它進行反變換，可以得到橢圓C2：x2/a2+y2/b2=?，即為所求的橢圓。

可以看到，利用仿射，我們極大地簡化了計算（然而考試別用不然你懂的）

奈何筆者自認才疏學淺，如果對仿射有興趣的話，建議去看其它大佬的文章~

言歸正傳，接下來來介紹如何簡化雙曲線的計算

以前在知乎上看見過將雙曲線放射到虛數域內變成一個圖形上是圓的函數，但是我想不通點要如何一一對應，因此就不認為這個方法很嚴謹。

說道雙曲線，大家不難想到初中時所學的反比例函數吧：它的計算明顯要比雙曲線簡單，而且別忘了：它也是雙曲線的一種。那么，當我們研究雙曲線相關的性質時，是否可以將它轉化為反比例函數的情況？請看例題：（高中奧數教程第二分冊雙曲線例四）

過雙曲線x2-y2/4=1的右支上任意一點P作一直線l與兩條漸近線相交于點A、B若P是AB的中點，求證：

（1）直線與雙曲線相切

（2）S△oab為定值

下面給出個人解法：

（1）由仿射變換知識，可知上述性質對任意雙曲線成立。則：

①仿射至x2-y2=2的情形

②設雙曲線上任意一點P（ρcosθ，ρsinθ）將向量OP逆時針旋轉45°，則P’（ρcos（θ+π/4），ρsin（θ+π/4）），分解開可得P’（√2/2（ρcosθ-ρsinθ，√2/2（ρcosθ+ρsinθ））還原后，可得P'（√2/2（x-y），√2/2（x+y））

∴x’y'=?（x2-y2）=1.即得到反比例函數：y’=1/x'，而漸近線即為x軸和y軸。

此時我們可以發現，一整個問題變得相當簡單：

設A’（x0,0）B’（0，y0），則有ka'b'=-y0/x0，記f（x）=1/x關于x=xo/2求導，有f’（x0/2）=-4/x02，注意到x0y0=4，則f’（x0/2）=-y0/x0，即A'B'與該點切線重合，即為切線。

（2）由反比例函數知識易知S’=2k=2，∴S為定值。

需要注意的是，這種方法還是需要看情況的，不能無腦淦。

一般來說，當問題涉及的是相切，定比分點等問題的時候，利用旋轉會有一定的簡化作用。反比例函數的話，對于焦點性質的研究還是比較疲軟的。另外，如果涉及坐標，最后的轉換不能忘記。

下面再附一道例題吧：（高中奧數教程第二分冊雙曲線B組12）

證明：自雙曲線上任一點引一條有相同漸近線的雙曲線的切線，則過兩個切點的直線與漸近線圍成的三角形的面積為定值。

個人證法：由仿射變換知識，可知上述性質對任意雙曲線成立。

則取C1：xy-1=0，C2：xy-λ=0

于是設點P在C1上（x0，y0）

由極點極線的知識，知l即為點P關于C2的極線（如果不了解極點極線，建議看看dylan的文章）所以l：x0y+y0x/2-λ=0 ∴分別代入x=0，y=0，有y1=2λ/x0，x1=2λ/y0，所以S=x1y1/2=4λ2/2x0y0=2λ2，為定值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的lisp 任意点 曲线距离_奇怪的知识增加了：把标准形式的双曲线旋转来解决问题...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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