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《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1

發布時間：2025/4/5 编程问答 18 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

《基于張量網絡的學習入門》學習筆記1

量子力學的三大奧義
- 什么是量子
- 量子力學的三大奧義——疊加、測量和糾纏
- - 第一大奧義：量子的疊加態
  - 第二大奧義：量子的測量
  - 第三大奧義：量子的糾纏態

量子力學的三大奧義

什么是量子

定義量子是“離散變化的最小單元”
“離散變化”即指量子的變化是不能連續的，就像人一樣，只有一個人，兩個人等，不能出現1.5個人。因此，我們可以稱某個只能離散變化的東西叫“量子化”的。

量子力學的三大奧義——疊加、測量和糾纏

第一大奧義：量子的疊加態

為了理解疊加態這個概念，首要要定義“態矢量”

定義：態矢量——表示量子力學狀態的矢量
在量子力學里中的態，是矢量，我們用符號 $∣a?\mathinner{|a\rangle}$ 表示態矢量，它由Hilbert空間中的列向量表示(相應的 $?a∣用Hilbert空間中的\mathinner{\langle a|}用Hilbert空間中的$ 行向量 $表示$ )，其中“ $∣?\mathinner{|\quad\rangle}$ ”是英國物理學家狄拉克發明的，稱為“狄拉克符號”。
注： $∣a?\mathinner{|a\rangle}$ 稱為右矢，相應的 $?a∣\mathinner{\langle a|}$ 稱為左矢，兩者互為對偶向量，統稱為態向量(或態矢)

定義：經典位比特(比特)——一個經典位(比特)是可以處于兩個完全不同狀態的系統，這兩個狀態可以用二進制數 $0$ 和 $1$ 來表示
經典比特對應計算機的操作可以有“恒等”、“與”、“非”操作等，那么在量子計算機中或者量子計算領域,我們使用態矢量來作為“比特”。
在二維復數Hilbert空間中，經典比特的兩個態可以用矢量的兩個分量來表示，即用一堆正交歸一的量子態來表示:
$∣↑?≡(10)\mathinner{|\uparrow\rangle}\equiv \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$ ,經典比特 $0$ $\quad$ $\quad$ $∣↓?≡(01)\mathinner{|\downarrow\rangle}\equiv \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$ ,經典比特 $1$

通過線性代數的學習，我們知道，在一個線性空間中，如果給定一組線性無關的基底 $a1,a2,?，an,a_1,a_2,\cdots，a_n,$ 則向量空間中的任意向量 $β\beta$ 都可以表示為基底的線性組合： $β=λ1a1+λ2a2+?+λnan\beta=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_na_n$
量子世界中的態可以同時是兩種態的疊加——既向上又向下。現在我們可以用線性組合來表示這個疊加的狀態。將 $∣↑?\mathinner{|\uparrow\rangle}$ 和 $∣↓?\mathinner{|\downarrow\rangle}$ 看成某個抽象的二維空間中的基底，那么，疊加狀態就是： $∣φ?=α[10]+β[01]=[αβ]\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right] + \beta \left[ \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}\alpha \\\beta \end{array} \right]$
其中， $α\alpha$ 和 $β\beta$ 是復數,也叫做概率幅或者幾率幅，并且滿足 $∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ 這樣的一個態就被稱為量子比特。

定義：量子比特——一個量子比特是一個可以在二維復數Hilbert空間中描述的兩級量子體系
根據疊加原理，量子比特的任何態都可以寫成如下形式：
$∣φ?=α∣↑?+β∣↓?(∣α∣2+∣β∣2=1)\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)$
式中的 $α,β,∣α∣2,∣β∣2\alpha,\beta,|\alpha|^2,|\beta|^2$ 分別為疊加態坍縮的 $0$ 和 $1$ 的概率，并且服從歸一化條件

除此之外，我們還在一個Bloch球中來便是量子比特，即
$∣φ?=eiγ(cos?θ2∣0?+ei?(sin?θ2∣1?)\mathinner{|\varphi\rangle}={e^{i\gamma }}(\cos \frac{\theta }{2}\mathinner{|0\rangle}+{e^{i\phi }}(\sin \frac{\theta }{2}\mathinner{|1\rangle})$ (可借助歐拉公式進行理解: ${e^{ix}} = \cos x + i\sin x$ )

下面會運用到一系列量子態相關的運算和性質，這里將常用的符號表附上

第二大奧義：量子的測量

回到疊加態的限制條件 $(∣α∣2+∣β∣2=1)(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)$ ，我們可以把這個條件改寫為向量內積的形式
$(αβ)(αβ)=1(\alpha\quad\beta)\left( \begin{array}{l}\alpha \\\beta \end{array} \right)=1$ ,這總內積為1的條件，也就是前面的歸一化條件。
在量子力學中，把態矢量 $∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}$ 和它自身的內積記為： $?φ∣φ?\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}$ 即左右矢相乘，那么歸一化條件就可以記為 $?φ∣φ?=1\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}=1$ 。但是，因為量子力學中疊加態的系數是復數，所以我們在復數域重新定義內積。
為了讓內積的結果是實數，我們將它的定義改寫為疊加系數的模平方求和：
$?φ∣φ?=∣α∣2+∣β∣2=α?α+β?β\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}=|\alpha|^2+|\beta|^2=\alpha^*\alpha+\beta^*\beta$ ,這里 $?$ 表示共軛轉置。

定義：態矢量的內積——在態矢量空間中按照一定順序選取任意兩個態矢，總可以定義一種計算規則，得到一個數(實數或復數)與之對應
這一定義規則被稱為內積，記做
$c=?α∣β?=(∣α?,∣β?)=(∑iai??αi∣)(∑ibi∣βi?)=∑iai?bi?αi∣βi?c=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=(\mathinner{|\alpha\rangle},\mathinner{|\beta\rangle})=(\sum\limits_i {a_i^*\mathinner{\langle \alpha_i|}})(\sum\limits_i {b_i\mathinner{|\beta_i\rangle}})=\sum\limits_i {a_i^*{b_i}}\mathinner{\langle\alpha_i|\beta_i\rangle}$
態矢量有如下性質：
$?\bullet$ 反對稱性： $?α∣β?=?β∣α??\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=\mathinner{\langle\beta|\alpha\rangle}^*$
$?\bullet$ 線性性： $?α∣β+γ?=?α∣β?+?α∣γ?\mathinner{\langle\alpha|\beta+\gamma\rangle}=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}+\mathinner{\langle\alpha|\gamma\rangle}$
$?\bullet$ 數乘性： $?α∣bβ?=b?α∣β?=?α∣β?b\mathinner{\langle\alpha|b\beta\rangle}=b\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}b$
$?\bullet$ 半正定性： $?α∣α?≥0\mathinner{\langle\alpha|\alpha\rangle}\ge0$
滿足加法和數乘兩種運算性質的集合，被稱為矢量空間或線性空間.滿足加法、數乘和內積三種運算的空間被稱為內積空間.完備的內積空間則稱為希爾伯特空間.

接下來，我們了解一下本征態的概念

定義: 本征態——經歷了矩陣乘法之后，方向保持不變(可以反向)的矢量
這就意味著 $M∣i?=mi∣i?M\mathinner{|i\rangle}=m_i\mathinner{|i\rangle}$ ，其中 $∣i?\mathinner{|i\rangle}$ 是本征態， $m_i$ 則是相應的本征值。以此我們可以聯想到線性代數的特征方程，本征態對應特征向量，本征值對應特征值。

現在，我們終于可以開始講量子比特的測量了
我們可以把一個量子比特的狀態以概率幅的方式變換成比特信息，也就是說，量子比特 $∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}$ 以概率 $∣?↑∣φ?∣2|\mathinner{\langle\uparrow|\varphi\rangle}|^2$ 變換成比特 $0$ ，以概率 $∣?↓∣φ?∣2|\mathinner{\langle\downarrow|\varphi\rangle}|^2$ 變換成比特 $1$ ，由于內積是線性演算，且 $∣↑?\mathinner{|\uparrow\rangle}$ 和 $∣↓?\mathinner{|\downarrow\rangle}$ 是正交基底，那么前面兩式內積的結果為：
$?↑∣φ?=?↑∣(α∣↑?+β∣↓?=α\mathinner{\langle\uparrow|\varphi\rangle}=\mathinner{\langle\uparrow|(\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}=\alpha$
$?↓∣φ?=?↓∣(α∣↑?+β∣↓?=β\mathinner{\langle\downarrow|\varphi\rangle}=\mathinner{\langle\downarrow|(\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}=\beta$
即 $∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}$ 以概率 $∣α∣2|\alpha|^2$ 變換成比特 $0$ ，以概率 $∣β∣2|\beta|^2$ 變換成比特 $1$
在量子力學中，測量值就是本征值也就是特征值。那么，聯系線性代數，我們可以知道，特征值就是可觀測量 $M$ 在某個地方出現的概率。
測量可以給出任何一個本征值 $m_i$ ，且每一個都有一定的概率。現在用 $M$ 的本征矢量為基來擴展任意態 $∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}$ : $∣φ?=∑iαi∣i?\mathinner{|\varphi\rangle}=\sum\limits_i {{\alpha_i}}\mathinner{|i\rangle}$ ,其中， $αi\alpha_i$ 是復常數。

根據量子力學的知識，在進行測量后，態矢量會發生坍縮，也就是如果本征態 $m_i$ 被測量，那么測量后的系統的態矢對應的本征矢量 $∣i?\mathinner{|i\rangle}$ ，當前的量子系統就會確定到這個本征態上。
$∣φ??mi∣i?\mathinner{|\varphi\rangle}\stackrel{m_i}{\longrightarrow}\mathinner{|i\rangle}$
注：測量是量子態上唯一不可逆的操作，其他操作都是可逆的
(此部分可以去看看薛定諤的貓加深理解)

第三大奧義：量子的糾纏態

根據糾纏的定義，肯定不是單一的系統能觀測到的。所以，現在我們需要將視線放到不同的系統之間的結合。
我們首先來學習下張量積
定義：張量積——對每一對矢量 $∣φ1?∈H1，∣φ2?∈H2\mathinner{|\varphi_1\rangle}\in H_1，\mathinner{|\varphi_2\rangle}\in H_2$ ，Hilbert空間 $H$ 都有一個矢量 $∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}$ 與他們聯系， $∣φ?\mathinner{|\varphi\rangle}$ 被稱為 $∣φ1?,∣φ2?\mathinner{|\varphi_1\rangle},\mathinner{|\varphi_2\rangle}$ 的張量積，記為 $∣φ?=∣φ1??∣φ2?\mathinner{|\varphi_\rangle}=\mathinner{|\varphi_1\rangle}\otimes\mathinner{|\varphi_2\rangle}$ ,常記為 $∣φ1?∣φ2?\mathinner{|\varphi_1\rangle}\mathinner{|\varphi_2\rangle}$ 或 $∣φ1φ2?\mathinner{|\varphi_1\varphi_2\rangle}$ , $H$ 中的矢量是 $∣φ1??∣φ2?\mathinner{|\varphi_1\rangle}\otimes\mathinner{|\varphi_2\rangle}$ 的線性疊加。
例如， $A, B$ 分別是 $m×mm\times m$ 和 $n×nn\times n$ 的方陣，則：

好，下面可以開始講量子糾纏態了
定義：量子糾纏態——當量子比特的疊加狀態無法用各量子比特的張量積乘積表示時，這種疊加態就稱為量子糾纏態
現在，給定兩個電子， $A$ 處于向上的態 $∣↑?A\mathinner{|\uparrow\rangle}_A$ , $B$ 處于向下的態 $∣↓?B\mathinner{|\downarrow\rangle}_B$ ，根據排列組合，總共有四種結合態 $∣↑↑?、∣↑↓?、∣↓↑?、∣↓↓?\mathinner{|\uparrow\uparrow\rangle}、\mathinner{|\uparrow\downarrow\rangle}、\mathinner{|\downarrow\uparrow\rangle}、\mathinner{|\downarrow\downarrow\rangle}$ .態矢量 $∣ψ?\mathinner{|\psi\rangle}$ 可以是這四種態的疊加。如果，一個系統的態為： $∣ψ?=12∣↑↓?+12∣↓↑?\mathinner{|\psi\rangle}=\frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathinner{|\uparrow\downarrow\rangle}+\frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathinner{|\downarrow\uparrow\rangle}$ ，由于它不能被分厘為單個電子的態的乘積，所以這個系統的態被稱為糾纏態。
現在例舉一個不是糾纏態的例子，我們看看和糾纏態的區別

我們可以發現，不是糾纏態的，有個類似于提取公因式的操作，而上面的糾纏態式子明顯無法完成這個操作。這種能提取“公因式” 式子又被叫做直積態，即能夠直接寫成張量積的態。

直觀的說，糾纏態的量子是會相互影響的，而非糾纏態的量子不會。

好了，這部分內容到一段落，希望感興趣的朋友能關注收藏。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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