1 協方差

1.1 定義

假設兩個隨機變量X和Y滿足未知的概率分布，那么X和Y的協方差為：

其中E是求解數學期望的運算符，μx，μy分別是X和Y的均值

1.2 存在的問題

????????協方差告訴我們兩個隨機變量是如何一起移動的，但只用協方差衡量變量相關性存在一些問題：協方差是有量綱的，它的大小受隨機變量本身取值范圍的影響。

2 相關系數

????????人們希望使用某個和協方差有關，但是又是無量綱的測量來描述兩個隨機變量的相關性。

????????最簡單的做法就是用變量自身的波動對協方差進行標準化，相關系數便由此得來。

2.1 相關系數的定義

? ? ? ??令ρ表示X和Y的相關系數，它的定義為

? ? ? ? 其中σx和σy分別是X和Y的標準差

????????通過使用X和Y的標準差對它們的協方差歸一化，ρ的取值范圍為 [-1, +1]：?

2.2 相關系數和XY分布之間的關系

• ρ(X,Y)=1表示X和Y之間存在確切的線性正相關；

• ρ(X,Y)=0表示X和Y之間不存在任何線性相關性；

• ρ(X,Y)=-1表示X和Y之間存在確切的線性負相關。

????????值得一提的是，相關系數僅僅刻畫 X和Y之間的線性相關性；它不描述它們之間的（任何）非線性關系。

3 時間序列的自相關系數

3.1 時間序列的弱平穩性

算法筆記：ARIMA_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客?提及了弱平穩性

我們這里涉及的弱平穩性性質是：如果時間序列數據具有弱平穩性，那么對于所有的時刻t和任意的間隔k，值之間的協方差,其中γk與時間t無關。他僅僅依賴于時間間隔k。

（比如樣本是 {},那么)

3.2 自相關系數ACF

和的自相關系數稱為的間隔為k的自相關系數。

?當k=0的時候，有：

說明對任何時刻t，?的間隔為k的自相關系數恒為1?

?進一步，我們計算

?

【弱平穩性的性質，時間序列的期望不變】

這里的是 {},

?所以?

【注：也有很多版本底下除的是n，就不太明白究竟應該是哪個。。。但如果n很大h很小的時候，差距并不是很大】

3.2.1 自相關圖解讀

下面為一些時間序列的自相關圖。它們呈現出完全不同結構的自相關性。

?

這個自相關圖的時間序列存在明顯的趨勢

這個相關圖的時間序列存在明顯的周期性。

?

?這個則同時有一定的趨勢和周期性

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率统计笔记： 协方差与相关系数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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