題目介紹

描述

現代數學的著名證明之一是 Georg Cantor 證明了有理數是可枚舉的。他是用下面這一張表來證明這一命題的：

1/1, 1/2 , 1/3, 1/4, 1/5, …

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, …

3/1, 3/2, 3/3, …

4/1, 4/2, …

5/1, …

…

我們以Z字形給表上每一項編號。第一項是1/1,然后是1/2, 2/1, 3/1, 2/2, …

輸入格式

整數N(1<= N <=10^7)

輸出格式

表中的第N項

樣例

輸入：

7

輸出:

1/4

分析

規律

我們通過題目可知，在Cantor表中走法為Z字形

不妨將Cantor表轉化為下圖

即

從左往右數

奇數行分母依次遞增，分子依次遞減

偶數行分母依次遞減，分子依次遞增

可知奇偶數行分子分母規律正好相反

所以為使奇偶數行變化規律一致并且符合題中所給的項數規律，我們可以規定

在上圖中，奇數行從左往右數，偶數行從右往左數

找查

例如我們要找查第7項，前三行一共有6項，前4行一共有10項

很顯然 6 < 7 < 10

所以我們可以很方便地確定第7項在第4行中

又

前幾行項數 - 所要找的項數 = 所要找的項所在行的最后一項分子 - 所找項分子

同理

前幾行項數 - 所要找的項數 = 所找項分母 - 所找項所在行最后一項分母

這兩個等式中我們分別知道任意三個量就可以求其中的第四個量

然后，我們繼續根據規律確定第7項的具體的值為 1/4

最后，我們可以輕易得出求任意項的算法如下

解法

以下是筆者的解題方法

先上代碼

#include <iostream> using namespace std;int main() {int n = 0, sum = 0, i = 1;cin >> n;while(sum < n){++i; //這里一定要讓i先自增再求和，否則求出來的和少一項（此處的項指的是等差數列的項）sum = i*(i - 1)/2; //首項公差均為1的等差數列求和，此處的和為第i行為止的Cantor表的總項數}//總項數與所找項的項數的差int dif = sum - n;if((i - 1) % 2 != 0)//如果i-1行為奇數，那么i行為偶數行，偶數行從右開始數（這里在寫的時候繞了個彎）cout << 1 + dif << "/" << i - 1 - dif;else//第i行為奇數行，從左邊數cout << i - 1 -dif << "/" << 1 + dif;}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法题——Cantor表的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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