文章目錄

• 預(yù)備知識(shí)
• • 什么是微積分
  • 一、 直線
  • • 1.1 增量
    • 1.2 直線的斜率
    • 1.3 平行線和垂直線
    • 1.4 直線的方程
  • 二、函數(shù)和圖形
  • • 2.1 映射
    • 2.2 逆映射與復(fù)合映射
    • 2.3 函數(shù)
    • 2.4 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)
    • 2.5 函數(shù)的運(yùn)算
    • 2.6 初等函數(shù)

預(yù)備知識(shí)

什么是微積分

微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

預(yù)備知識(shí)主要復(fù)習(xí)在開始學(xué)習(xí)微積分時(shí)要知道的最重要的知識(shí)，重點(diǎn)是函數(shù)和圖形。

一、 直線

證明微積分是如此有用的一個(gè)理由在于微積分是把一個(gè)量的變化率和該量的圖形聯(lián)系起來(lái)的正確的數(shù)學(xué)，解釋這種關(guān)系要從直線的斜率開始。

1.1 增量

定義：如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)(x?,y?)，移動(dòng)到點(diǎn)(x?,y?)，其坐標(biāo)的增量為

?x = x? - x? 和 ?y = y? - y? .

增量可以是正的、負(fù)的或零。記號(hào) ? 讀作 “delta”。

1.2 直線的斜率

每條非垂直的直線l，有一個(gè)斜率，每行進(jìn)單位距離時(shí)高度的變化稱為直線的斜率。

我們稱 ?y = y? - y? 為 P? 到 P? 的升高，?x = x? - x? 是從 P? 到 P? 行進(jìn)的距離。

定義：設(shè) P? (x?,y?) 和 P? (x?,y?) 是非垂直直線 L 上的兩個(gè)點(diǎn)。L的斜率為
$$m=\frac{升高}{行進(jìn)的距離}=\frac{?y}{?x}=\frac{y??y?}{x??x?}$$
當(dāng)x增加時(shí)上升的直線具有正斜率；當(dāng)x增加時(shí)下降的直線具有負(fù)斜率。水平線的斜率為零，因?yàn)槠渖系狞c(diǎn)具有相同的 y 坐標(biāo)，使得 ?y = 0.對(duì)垂直的直線，?x = 0，從而 ?y/?x 是無(wú)意義的，我們說(shuō)垂直直線沒有斜率來(lái)表示這一事實(shí)。

1.3 平行線和垂直線

平行線與x軸的夾角相等（圖a）。因此，非垂直的平行線具有相同的斜率。反之，具有相同斜率的直線與x軸的交角相等，所以是平行線。

如果兩條非垂直直線 L? 和 L? 是相互垂直的，其斜率 m? 和 m? 滿足m?m? = -1，所以每個(gè)斜率是另一個(gè)斜率的負(fù)倒數(shù)：
$$m?=?\frac{1}{m}?,m?=?\frac{1}{m}?$$

1.4 直線的方程

如果我們知道直線的斜率m和直線上的一點(diǎn)P?(x?,y?)，我們可以寫出任何非垂直線的方程。因?yàn)槿绻鸓(x,y)是直線上任意一點(diǎn)，則
$$\frac{y?y?}{x?x?}=m$$
所以
$$y?y?=m(x?x?)或y=m(x?x?)+y?.$$
點(diǎn) - 斜式方程

定義：方程
$$y=m(x?x?)+y?$$
是過(guò)點(diǎn)(x?,y?)，且斜率為m的直線的點(diǎn) - 斜式方程

斜率 - 截距方程

非垂直直線和 y 軸的交點(diǎn)的 y 坐標(biāo)是直線的 y - 截距。類似地，非水平直線和 x 軸的交點(diǎn)的 x 坐標(biāo)是直線的 x - 截距。斜率為 m 而 y- 截距為 b 的直線過(guò)(0,b)，所以
$$y=m(x?0)+b,更簡(jiǎn)潔地，y=mx+b$$
定義：方程
$$y=mx+b$$
是斜率為m而 y - 截距為 b 的直線的 斜率 - 截距方程。

一般線性方程

如果 A、B都不全為零，則方程 Ax + By = C 的圖形是一條直線。每條直線都有這種形式的方程，即使是一條具有不確定的斜率的直線。

定義：方程
$$Ax+By=C（A和B不全為0）$$
是 x，y 的一般線性方程。

二、函數(shù)和圖形

函數(shù)是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界的主要工具。這里討論函數(shù)的基本概念，它們的圖形，位移或復(fù)合函數(shù)的方法，講述出現(xiàn)在微積分中的若干重要的函數(shù)類。

2.1 映射

映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，而函數(shù)是微積分的研究對(duì)象，也是映射的一種。

1、映射的概念

定義：設(shè) X，Y 是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì) X 中每個(gè)元素 x，按法則 f，在 Y中有唯一的元素 y 與之對(duì)應(yīng)，那么稱 f 為從 X 到 Y 的映射，記作
$$f:X\to Y,$$
其中 y 稱為元素 x （在映射 f 下）的像，并記作 f(x)，即
$$y=f(x),$$
而元素 x 稱為元素 y（在映射 f 下）的一個(gè)原像；集合 X 稱為映射 f 的定義域，記作 D_f ，即 D_f = X；X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域，記作 R_f 或 f(x)，即
$$R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}.$$
從上述映射的定義中，需要注意的是：

• 構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素：集合 X ，即定義域 D_f = X；集合 Y ，即值域的范圍：R_f ? Y；對(duì)應(yīng)法則 f ，使對(duì)每個(gè) x∈X，有唯一確定的 y = f(x) 與之對(duì)應(yīng)。
• 對(duì)每個(gè) x∈X ，元素 x 的像 y 是唯一的；而對(duì)每個(gè) y ∈ R_f ，元素 y 的原像 x 不一定是唯一的；映射 f 的值域 R_f 是 Y 的一個(gè)子集，即 R_f ? Y ，不一定 R_f = Y。

滿射：設(shè) f 是從集合 X 到集合 Y 的映射，若R_f = Y，即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，則稱 f 為 X 到 Y 上的映射或滿射；

單射：若對(duì) X 中任意兩個(gè)不同元素 x₁ ≠ x?，他們的像 f(x?) ≠ f(x?) ，則稱 f 為 X 到 Y 的單射；

雙射：若映射 f 既是單射，又是滿射，則稱 f 為 一 一 映射(雙射)。

映射又稱為算子。

在不同的數(shù)學(xué)分支中，映射有不同的慣用名。從非空集 X 到數(shù)集 Y 的映射又稱為 X 上的泛函，從非空集 X 到它自身的映射又稱為 X 上的變換，從實(shí)數(shù)集（或其子集）X 到實(shí)數(shù)集 Y 的映射通常稱為定義在 X 上的函數(shù)。

2.2 逆映射與復(fù)合映射

1、逆映射

設(shè) f 是 X到 Y的單射，則由定義，對(duì)每個(gè) y ∈ R_f ，有唯一的 x∈X，適合 f(x) = y。于是，我們可以定義一個(gè)從 R_f 到 X 的新映射 g ，即
$$g:R_f\to X,$$
對(duì)每個(gè) y ∈ R_f，規(guī)定 g(y) = x，這個(gè) x 滿足 f(x) = y。這個(gè)映射 g 稱為 f 的逆映射，記作 f^-1。其定義域 D_f^-1 = R_f，值域 R_f^-1 = X。

注意，只有單射才存在逆映射。

2、復(fù)合映射

設(shè)有兩個(gè)映射
$$g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z,$$
其中 Y₁ ? Y₂，則由映射 g 和 f 可以定義出一個(gè)從 X 到 Z 的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè) x∈X 映射成 f[g(x)] ∈ Z。這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從 X 到 Z的映射，這個(gè)映射稱為映射 g 和 f 構(gòu)成的復(fù)合映射，記作 即

2.3 函數(shù)

從集合 D 到集合 R 的一個(gè)函數(shù)是對(duì) D 中每個(gè)元素指定 R 中唯一元素的一種規(guī)則稱為函數(shù)。

定義：設(shè)數(shù)集 D ? R，則稱映射 f : D → R 為定義在 D 上的 函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為
$$y=f(x),x\in D,$$
其中 x 稱為自變量，y 稱為因變量，D 稱為定義域，記作 D_f，即 D_f = D。

如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的，否則就是不相同的。

函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來(lái)確定：一種是對(duì)有實(shí)際背景的函數(shù)，根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定。另一種是抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)，通常約定這種函數(shù)的定義域是使得算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域。這種約定之下，一般用算式表達(dá)式的函數(shù)可用 y = f(x) 表達(dá)，而不必再表出 D_f 。

區(qū)間

區(qū)間的端點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，它們構(gòu)成了區(qū)間的邊界，其余的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，它們構(gòu)成了區(qū)間的內(nèi)部，包括所有邊界點(diǎn)在內(nèi)的區(qū)間是閉區(qū)間；不包含邊界點(diǎn)的區(qū)間是開區(qū)間。開區(qū)間的每一點(diǎn)都是該區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)。

表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析式（公式法）。

取整函數(shù)

設(shè) x 為任一實(shí)數(shù)，不超過(guò) x 的最大整數(shù)稱為 x 的整數(shù)部分，記作[x]。這圖形稱為階梯曲線，在 x 為整數(shù)值處，圖形發(fā)生跳躍，躍度為1，這函數(shù)稱為取整函數(shù)。

分段函數(shù)

有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子表示。這種自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)函數(shù)，通常稱為分段函數(shù)。

2、函數(shù)的幾種特性

（1）函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?D，數(shù)集 X ? D。如果存在數(shù) K?，使得
$$f(x)\le K?$$
對(duì)任一 x∈X 都成立，那么稱函數(shù) f(x) 在 X 上有上界，而 K? 稱為函數(shù) f(x) 在 X 上的一個(gè)上界。如果存在數(shù) K?，使得
$$f(x)\ge K?$$
對(duì)任一 x∈X 都成立，那么稱函數(shù) f(x) 在 X 上有下界，而 K? 稱為函數(shù) f(x) 在 X 上的一個(gè)下界。若函數(shù) f(x) 在 X 既有上界,又有下界,則稱該函數(shù)在 X 上有界。顯然， y=f(x) 在 X 上有界的充分必要條件是存在常數(shù) M>0，使得任一 x∈X，都有 |f(x)| ≤ M。

（2）單調(diào)性

設(shè)函數(shù)在 f(x) 的定義域?yàn)?X，區(qū)間 E?X，如果對(duì)于區(qū)間 E 上任一兩點(diǎn) x? 和 x? , 當(dāng)x?< x?的時(shí)候，恒有 f(x?) < f(x?)，則稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間 E 上是單調(diào)增加的；

設(shè)函數(shù)在 f(x) 的定義域?yàn)?X，區(qū)間 E?X，如果對(duì)于區(qū)間 E 上任一兩點(diǎn) x? 和 x? , 當(dāng)x?< x?的時(shí)候，恒有 f(x?) > f(x?)，則稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間 E 上是單調(diào)遞減的；

（3）奇偶性

設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域 X 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，對(duì)于所有的 x∈X， 有 f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù)；

設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域 X 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于所有的 x∈X， 有 f(-x) = -f(x)，則稱 f(x) 為奇函數(shù)。

（4）周期性

設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?X，如果存在一個(gè)不為零的正數(shù) t，使得對(duì)于任一 x∈D 有 (x±t)∈D，并且 f(x+t) = f(x) 恒成立，則稱為 f(x) 為周期函數(shù)，t 稱為 f(x) 的一個(gè)周期 ( f(x) 會(huì)有很多個(gè)周期，通常說(shuō)周期函數(shù)的周期一般是指其最小正周期)。

2.4 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù) f : D → f(D) 是單射，則它存在逆映射 f^-1 ：f(D) → D，稱此映射 f^-1 為函數(shù) f 的反函數(shù)。

按此定義，對(duì)每個(gè) y ∈ f(D)，有唯一的 x ∈ D，使得 f(x) = y。于是有
$$f^{?1}(y)=x.$$
這就是說(shuō)，反函數(shù) f^-1 的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù) f 的對(duì)應(yīng)法則所確定的。

一般地，y = f(x)，x ∈ D 的反函數(shù)記成 y = f^-1(x)，x ∈ f(D)。

若 f 是定義在 D 上的 單調(diào)函數(shù)，則 f : D → f(D) 是單射，于是 f 的反函數(shù) f^-1 必定存在。相對(duì)于反函數(shù) y = f^-1(x) 來(lái)說(shuō)，原來(lái)的函數(shù) y = f(x) 稱為直接函數(shù)。

設(shè)函數(shù) y = f(u) 的定義域?yàn)?D_f ，函數(shù) u = g(x) 的定義域?yàn)?D_g ，且其值域 R_g ? D_f ,則由下式 確定的函數(shù)
$$y=f[g(x)],x\in D_g$$
稱為由函數(shù) u = g(x) 與函數(shù) y = f(u) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)?D_g ，變量 u 稱為 中間變量。

函數(shù) g 與函數(shù) f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，即按 “先 g 后 f ” 的次序復(fù)合的函數(shù)，通常記為 f ? g，即
$$(f?g)(x)=f[g(x)].$$

2.5 函數(shù)的運(yùn)算

設(shè)函數(shù) f(x)，g(x) 的定義域依次為 D_f ，D_g，D = D_f ∩ D_g ≠ ?，則我們可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：
$$\begin{gathered} 和(差)f\pm g:(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)，x\in D; \\ 積f?g:(f?g)(x)=f(x)?g(x),x\in D; \\ 商\frac{f}{g}=(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\{x|g(x)=0,x\in D\}. \end{gathered}$$

2.6 初等函數(shù)

$$\begin{gathered} 冪函數(shù)：y=x^u(u\in R是常數(shù))， \\ 指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>0且a=1), \\ 對(duì)數(shù)函數(shù)：y=lo{g}_{a}x(a>0且a=1,特別當(dāng)a=e時(shí)，記為y=lnx)， \\ 三角函數(shù)：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等， \\ 反三角函數(shù)：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等. \end{gathered}$$

以上這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

參考書籍：
《托馬斯微積分》
《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)大學(xué)第七版）

《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實(shí)踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的微积分笔记（一）--预备知识的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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