An introduction to the Gromov-Hausdorff distance

一、Hausdorff距離定義

????????在數學中，Hausdorff 距離或 Hausdorff 度量，也稱為 Pompeiu-Hausdorff 距離，測量度量空間的兩個子集彼此之間的距離。它將度量空間的非空緊湊子集的集合轉換為本身的度量空間。它以菲利克斯豪斯多夫和迪米特里龐培命名。

????????非正式地，如果任一集合的每個點都靠近另一集合的某個點，則兩個集合在 Hausdorff 距離上是接近的。 Hausdorff 距離是對手在兩個集合之一中選擇一個點，然后您必須從該點前往另一個集合的對手可以迫使您行進的最長距離。換句話說，它是從一組中的點到另一組中最近點的所有距離中最大的。

　　假設有兩組集合,則這兩個點集合之間的Hausdorff距離定義為

? ? 　

其中,

　　? ? ? ? ? (2)

　　? ? ? ? ? (3)

　是點集A和B點集間的距離范式(如:或Euclidean距離,或，).

以上講的是什么意思？

這里專門講清楚。先看看維基，給出如下圖：

?1 將原圖的符號XY修正B和A，兩個點集合和

? ? ? 注意，這里A集合是藍線上點集，B集合是綠線上點集。

2??取A集合中的一點a0，計算a0到B集合中所有點的距離，保留最短的距離d0

?

?圖中表示，a0到B集合的距離，a1到B集合距離，都用紅線標出。

3 遍歷A集合中所有點，圖中一共兩點a0和a1，計算出d0和d1（圖中紅線）

? ? ? ? ? 比較所有的距離{ d0, d1... }，選出最長的距離d1-->h

4 這個最長的距離就是h，它是A→B的單向豪斯多夫距離，記為h( A, B )

? ? ? 對于A集合中任意一點a，我們可以確定，以點a為圓心，h為半徑的圓內部必有B集合中的點

5? 交換A集合和B集合的角色，計算B→A的單向豪斯多夫距離h( B, A )，選出h( A, B )和h( B, A )中最長的距離，就是A,B集合的雙向豪斯多夫距離.

二、Hausdorff距離有什么用途？

這里給出一個實際案例：比如存在三種樹葉，分別如下圖，問哪幾個樹葉更接近？

可以將三種樹葉重心重合，然后用取出邊界，用Hausdorff距離比較。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基础理论：集合的Hausdorff距离的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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