Matlab LQR 推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用

本文主要介紹LQR的直觀推導(dǎo)，說(shuō)明LQR目標(biāo)函數(shù)J選擇的直觀含義以及簡(jiǎn)單介紹矩陣Q,R的選取，最后總結(jié)LQR控制器的設(shè)計(jì)步奏，并將其應(yīng)用在一個(gè)簡(jiǎn)單的倒立擺例子上。 ? ? ?

? ? ? 假設(shè)有一個(gè)線性系統(tǒng)能用狀態(tài)向量的形式表示成：

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 )

其中?，初始條件是. 并且假設(shè)這個(gè)系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可測(cè)量到的。

? ? ? 在介紹LQR前，先簡(jiǎn)單回顧一下現(xiàn)代控制理論中最基本的控制器--全狀態(tài)反饋控制。

? ? ? 全狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)圖形如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ?

我們要設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器

? ? ? ? ? ? ?

使得閉環(huán)系統(tǒng)能夠滿足我們期望的性能。我們把這種控制代入之前的系統(tǒng)狀態(tài)方程得到

? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 2 )

對(duì)于(1)式的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，由現(xiàn)代控制理論我們知道開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)矩陣A的特征值。(傳遞函數(shù)的分母是|sI -A|，|·|表示行列式)

現(xiàn)在變成了(2)的閉環(huán)形式，狀態(tài)變換矩陣A變成了(A-BK)。因此通過(guò)配置反饋矩陣K，可以使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)達(dá)到我們期望的狀態(tài)。注意，這種控制器的設(shè)計(jì)與輸出矩陣C,D沒(méi)有關(guān)系。

? ? ? ?那么，什么樣的極點(diǎn)會(huì)使得系統(tǒng)性能很棒呢？并且，當(dāng)系統(tǒng)變量很多的時(shí)候，即使設(shè)計(jì)好了極點(diǎn)，矩陣K也不好計(jì)算。

? ? ? ?于是，LQR為我們?cè)O(shè)計(jì)最優(yōu)控制器提供了一種思路。

在設(shè)計(jì)LQR控制器前，我們得設(shè)計(jì)一個(gè)能量函數(shù)，最優(yōu)的控制軌跡應(yīng)該使得該能量函數(shù)最小。一般選取如下形式的能量函數(shù)。

? ? ? ? ? ??，其中Q是你自己設(shè)計(jì)的半正定矩陣，R為正定矩陣。

可是，為什么能量函數(shù)(或稱(chēng)系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù))得設(shè)計(jì)成這個(gè)樣子呢？

? ? ? ?首先假設(shè)狀態(tài)向量x(t)是1維的，那么其實(shí)就是一個(gè)平方項(xiàng) Qx^2 >= 0，同理.?能量函數(shù)J要最小，那么狀態(tài)向量x(t)，u(t)都得小。J最小，那肯定是個(gè)有界的函數(shù)，我們能推斷當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，狀態(tài)向量x(t)將趨于0，這也保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。那輸入u(t)要小是什么意思呢？它意味著我們用最小的控制代價(jià)得到最優(yōu)的控制。譬如控制電機(jī)，輸入PWM小，將節(jié)省能量。

? ? ? ?再來(lái)看看矩陣Q,R的選取，一般來(lái)說(shuō)，Q值選得大意味著，要使得J小，那x(t)需要更小，也就是意味著閉環(huán)系統(tǒng)的矩陣(A-BK)的特征值處于S平面左邊更遠(yuǎn)的地方，這樣狀態(tài)x(t)就以更快的速度衰減到0。另一方面，大的R表示更加關(guān)注輸入變量u(t),u(t)的減小，意味著狀態(tài)衰減將變慢。同時(shí)，Q為半正定矩陣意味著他的特征值非負(fù)，R為正定矩陣意味著它的特征值為正數(shù)。如果你選擇Q,R都是對(duì)角矩陣的話，那么Q的對(duì)角元素為正數(shù)，允許出現(xiàn)幾個(gè)0.R的對(duì)角元素只能是正數(shù)。

? ? ? ?注意LQR調(diào)節(jié)器是將狀態(tài)調(diào)節(jié)到0，這與軌跡跟蹤不同，軌跡跟蹤是使得系統(tǒng)誤差為0.

? ? ? ? 知道了背景后，那如何設(shè)計(jì)反饋矩陣K使得能量函數(shù)J最小呢？很多地方都是從最大值原理，Hamilton函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)。這里用另外一種更容易接受的方式推導(dǎo)。

將u = -Kx 代入之前的能量函數(shù)得到：

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 3 )

為了找到K,我們先不防假設(shè)存在一個(gè)常量矩陣P使得：

? ? ? ? ? ? ??? ? ? (4)

代入(3)式得：

? ? ? ? ? ? ??? ? ?(5)

注意，我們已經(jīng)假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，也就是t趨于無(wú)窮時(shí)，x(t)趨于0.

現(xiàn)在把(4)式左邊的微分展開(kāi)，并把狀態(tài)變量x的微分用(2)式替代得到：

? ? ? ? ? ? ? ??

這個(gè)式子要始終成立的話，括號(hào)里的項(xiàng)必須恒等于0.

? ? ? ? ? ? ? ??

這是一個(gè)關(guān)于K的二次型等式，當(dāng)然這個(gè)二次型是我們不愿看到的，因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜。現(xiàn)在只要這個(gè)等式成立，我們何必不選擇K使得兩個(gè)二次項(xiàng)正好約掉了呢？這樣既符合了要求，又簡(jiǎn)化了計(jì)算。

取 ?? 代入上式得：

? ? ? ? ? ? ?(6)

K的二次項(xiàng)沒(méi)有了，可K的取值和P有關(guān)，而P是我們假設(shè)的一個(gè)量，P只要使得的(6)式成立就行了。而(6)式在現(xiàn)代控制理論中極其重要，它就是有名的Riccati 方程。

現(xiàn)在回過(guò)頭總結(jié)下LQR控制器是怎么計(jì)算反饋矩陣K的：

? ? ? ?1.選擇參數(shù)矩陣Q,R

? ? ? ?2.求解Riccati 方程得到矩陣P

? ? ? ?3.計(jì)算

再看看LQR的結(jié)構(gòu)圖：

? ? ? ? ? ? ??

關(guān)于它的應(yīng)用呢，比較典型的就是倒立擺控制器的設(shè)計(jì)。

倒立擺的狀態(tài)變量為,其中p(t)是小車(chē)位置，θ是倒立擺的角度。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如程序所示：

A = [0 1 0 00 0 -1 00 0 0 10 0 9 0]; B = [0;0.1;0;-0.1]; C = [0 0 1 0]; %觀測(cè)角度 D = 0;Q = [1 0 0 00 1 0 00 0 10 00 0 0 10]; R = 0.1; %由上面這個(gè)系統(tǒng)，可以計(jì)算出K K = lqr(A,B,Q,R); Ac = A - B*K; %對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬 x0 = [0.1;0;0.1;0]; %初始狀態(tài) t = 0:0.05:20; u = zeros(size(t)); [y,x]=lsim(Ac,B,C,D,u,t,x0); figure plot(t,y);

最后看到角度回到0，即平衡位置，控制器起到了作用，你可以選擇不同的Q,R進(jìn)行對(duì)比。

reference：

1.F.L. Lewis .<<?Linear Quadratic Regulator (LQR) State Feedback Design >>

2.http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum&section=ControlStateSpace

3.http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum&section=ControlStateSpace

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2020-12-18 Matlab LQR 推导及简单应用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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