求最小一般用二分，求前最小一般用堆

偶爾看到一個問題，搜索了一些解法，用來存著

1.X[1..n] 和 Y[1..n]為兩個數組，每個都包含n個已排好序的數。給出一個求數組X和Y中所有2n個元素的中位數的O(lgn）時間的算法

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參考 ：http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6314002

分析與解答：

?? ?? 若中位數位于X中，不妨設為X[k]，即在X中有k個元素小于等于中位數，n-k個元素大于等于中位數。由于X[k]為合并后的2n個元素的中位數，則在Y中有n-k個元素小于等于中位數，k個元素大于等于中位數，即

?????????????????????????????????????? Y[n-k] ≤? X[K] ≤ Y[n-k+1]

看到時間復雜度為O(lgn)，不禁使我們想到二分法，但是和這題有什么關聯呢？

二分法每次搜索都能減小一半的范圍，在搜索中位數的過程也可以的，下面具體論述:

若X[k]不滿足上述等式，分兩種情況

(1) X[k] < Y[n-k]

???? 若中位數是k' < k，則X[k'] ≤? X[k]] < Y[n-k] 。那么在Y中小于等于X[k']的元素數目小于n-k，則X[k']不可能為中位數

???? 由此只需要搜索k' > k的范圍

(2) X[k] > Y[n-k+1]

???? 若中位數是k' >? k，則X[k'] > X[k] > Y[n-k+1] 。那么在Y中小于等于X[k']的元素數目大于n-k+1，則X[k']不可能為中位數

???? 由此只需要搜索k' < k的范圍

根據上述特點，我們可以采用二分搜索逐步縮小搜索范圍。

整個算法的過程如下：

TWO-ARRAY-MEDIAN(X, Y) n ← length[X] median ← FIND-MEDIAN(X, Y, n, 1, n) if median = NOT-FOUNDthen median ← FIND-MEDIAN(Y, X, n, 1, n) return medianFIND-MEDIAN(A, B, n, low, high) if low > highthen return NOT-FOUND k ← (low + high)/2 if k=n and A[n] ≤ B[1]then return A[n] elseif k<n and B[n-k]≤A[k]≤B[n-k+1]then return A[k] elseif A[k]<B[n-k]then return FIND-MEDIAN(A, B, n, k+1, high) else return FIND-MEDIAN(A, B, n, low, k-1)

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2.假設a[m]，?b[n]是兩個排好序的數組，并且沒有重復元素，要找第k小的元素

參考： http://bbs.csdn.net/topics/370014294

里面有一種方法挺好的，O(lgk)

為了方便以下描述下標從1開始，

如果m,n>=k時，若k為偶數取i=k/2，j=k/2，若k為奇數，一個向下去整一個向上去整。如果兩個值相同，則第k小的就是此值；如果此時一大一小，假設a[i]>b[j]，則i--,j++（0<i,j<n）直到a[i]<=b[j]，則b[j]即為第k小的值。

如果m,n<k，則只要取的兩個下標i+j=k即可，方法相同。

3.兩個按升序排好的等長數組A[K],B[K]。A[i]+B[j],其中，0<i<K,0<j<K.（數組從0開始的）求前K個小的 A[i]+B[j]，（注意：不是第K個，是前K個，輸出結果沒要求一定是排好序的，但要求空間復雜度和時間復雜度盡可能最優)

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開始考慮最小的肯定為A[0]+B[0],如果第k小的是A[m]+B[n]，當i<=m,j<=n時，A[i]+B[j]必<=A[m]+B[n]，必是在前k個最小的數中，則m*n<=k。（后面不會想了）

參考：http://blog.csdn.net/sunnianzhong/article/details/8932374

如果用最小堆求解思路如下：

首先把a0+b0的結果放入堆中，此時堆中只有一個元素，自然滿足最小堆條件，然后開始出堆的操作，從堆里面取出根節點（也就是最小的值），

例如是a[i]+b[j]，則需要像最小堆中壓入a[i+1]b[j] 和?a[i]+b[j+1]，當然，要保證下標不越界，如果下標越界了則忽略，另外要保證已經壓入過堆中的組合（即使已經從堆中被取出了的）不再被壓入堆中。不段進行出堆、入堆的操作，重復K次，就得到了K個最小的組合值。

堆的最大深度為logK,所以時間復雜度為K*logK數量級。

空間復雜度O(K)

開始感覺這個思路貌似有問題，感覺局部最小值不一定為全局最小值，但是看完楊氏矩陣又想了想，還是對的，每次搜索都是候選最小值，出堆的是全局最小值。

已知一個2維矩陣，其中的元素每一行從左至右依次增加，每一列從上到下依次增加。即對于矩陣Table有Table[i][j] ≤Table[i][j + 1], Table[i][j] ≤ Table[i + 1][j]，我們也稱這樣的矩陣為楊氏矩陣。

楊氏矩陣參考http://blog.csdn.net/michealmeng555/article/details/2489923

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4.給定k個數組，每個數組有k個整數。每個數組中選取一個整數，一共k個整數，取其和，一共可以得到k^k個和。給出方法，求得這k^k個和中，最小的k個。

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這個題目最終歸于第三題，對兩個數組求和的最小的k個，求出的k個值作為一個數組再與第三個數組求最小的k個，以此類推。

最后的時間復雜度是O(k^2logk)。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的两个排序数组合并第k或前k个最小值问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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