光滑曲線在數學上的定義是什么？？

原文鏈接：光滑曲線在數學上的定義是什么?

回答1：
定義:切線隨切點的移動而連續轉動。

若函數$f(x)$在區間$(a,b)$內具有一階連續導數，則其圖形為一條處處有切線的曲線。則為光滑曲線。簡言之，若$f^{\prime }(x)$連續，則曲線光滑。

但反之，不成立。比如圓，圓在直角坐標系下，有兩條豎直的切線，導數不存在（為∞大）。

回答2：
不敢保證對。但同糾結這個問題，想了許久，有點心得，拿來探討。希望有緣破解心中迷霧：

• 1.光滑，從直觀上是不突兀，流線的。臺階本質上是折線，因此在轉折處感覺尖銳，突兀，是為不光滑。例如$y＝丨x丨$在$x＝0$處就很尖銳。$y＝x^2$在 $x＝0$處是一段曲線，看上去用手摸了不會扎手。
• 2.存在切線，就是在一點附近，曲線無限接近于一條直線。曲線被磨平了，只有這樣，才不扎手。要求切線隨著點連續轉動，就是表達曲線不會一下子過度太快，無限接近的兩點形狀無限接近。

至于判斷，先直觀想象圖像，再證明。

求一次導，相當于把函數的變化過程放大一次。因此嚴格的光滑定義要求無限階可導，也就是不管怎么拉大拉平，都是不扎手。

---

分段差值：

分段插值: 通常可能指的是直接分段低次線插, 通俗來說 這樣出來的線條不是很平滑. 因為在節點上不一定可導.
直接hermite插值就和一樓說的差不多三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區別在于S(x)自身光滑(考慮了二階倒數)，不需要知道 f 的導數值（除了在2個端點可能需要）；
而Hermite插值依賴于f 在所有插值點的導數值。(S(x)為插值基函數,f為你要插值的函數)

分段三次埃爾米特插值：

可以參考：數值分析(4)-多項式插值: 埃爾米塔插值法

Hermite 插值就是要求插值函數不僅經過所給節點，而且要保證在該點的導數也相等。

以3個點為例，想要使用分段3次Hermite 插值求出這三個點的插值函數：
分析一下，每一段三次hermite插值多項式 $f(x)=a+b?x+c?x^2+d?x^3$都有4個未知系數需要求解，三個點就是兩段，那么就有2*4=8個未知數。8個未知數，就需要聯立8元一次方程組，需要8個方程：
$$\begin{gathered} S_0(x_0)=y_0 \\ {S}_0(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_2)=y_2 \\ {S}_0^{\prime }(x_1)=S_1^{\prime }(x_1)：一階導數值相等 \end{gathered}$$
上面有5個方程，還差3個方程，這三個方程從定義中可知，需要知道每個點處的導數。即的導數值必須已知，但是實際工程中是不太可能知道每個點的導數值的。因為，你連原函數都不知道，怎么能知道導數值呢？

總結一下：Hermite插值在實際使用的時候沒有多大意義，同時知道點和導數，還假裝不知道原函數的情況，不多(PS:都知道導數了有什么計算的必要？)

所以，一般用牛頓，牛頓大法好！

分段三次樣條插值：

推薦參考【三次樣條（cubic spline）插值】
可以參考【數值分析(5)-分段低次插值和樣條插值】

三次多項式有兩種形式，很自然的，我們會想到第一種，如下：

$$y=a_i+b_{i}x+c_i{x}^2+d_i{x}^3\text{\hspace{1em}(1)}$$
我們還有第二種寫法，下面的曲線表達式經過$(x_i,y_i)$：
$$y=a_i+b_i(x?x_i)+c_i(x?x_i{)}^2+d_i(x?x_i{)}^3\text{\hspace{1em}(2)}$$
把上面(2)這個展開后，變成了：
$$y=(a_i?b_i{x}_i+c_i{x}_i^2?d_i{x}_i^3)+(b_i?2c_i{x}_i+3d_i{x}_i^2)x+(c_i?3d_i{x}_i)x^2+d_i{x}^3$$
所以兩種形式的寫法都對，最終求出來的雖然是不同的值，但是最終的表達式肯定是一樣的。因為第二種寫法的并不是真正的系數，不過第二種寫法在推導數學公式時很方便。

有點類似于我們小學時候學的$y=kx+b$和$y?y_i=k(x?x_i)$的樣子，都是兩種表示方法。

對于分段三次樣條插值，就比分段三次hermite多項式插值多了一個條件，即各點的二階導數相等。還是以三個點為例：
$$\begin{gathered} S_0(x_0)=y_0 \\ {S}_0(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_2)=y_2 \\ {S}_0^{\prime }(x_1)=S_1^{\prime }(x_1)：x_1處一階導數值相等 \\ {S}_0^{\prime \prime }(x_1)=S_1^{\prime \prime }(x_1)：x_1處二階導數相等 \end{gathered}$$
然后再利用三類邊界條件中的其中一種邊界條件，即可以從兩個端點處再得到兩個方程。

三類邊界條件：

用下面的解釋更容易明白：
例如一系列節點 ，其中是兩個端點(也叫邊界點)，三類邊界條件如下：

• 自然邊界:
  兩個端點即邊界點的二階導都為0；
  $S_0^{\prime \prime }(x_0)=0$
  $S_n^{\prime \prime }(x_{n?1})=0$。
• 夾持邊界:
  由邊界點一階導數給定，例如分別給兩個邊界點的一階導數設定為$A$和$B$；
  $S_0^{\prime }(x_0)=A$
  $S_n^{\prime }(x_{n?1})=B$。
• 非扭結邊界:
  使兩個邊界端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等。那么令
  $S_0^{\prime \prime \prime }(x_0)=S_0^{\prime \prime \prime }(x_1)$
  $S_n^{\prime \prime \prime }(x_{n?1})=S_n^{\prime \prime \prime }(x_n)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学与算法】【分段三次Hermite插值】和【分段三次样条插值】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。