本文只講數字圖像處理，即離散化后的公式，至于積分形式的分析，網上很多。
具體的數學推導可以參考這篇博客直方圖均衡化。
如果想自己代碼實現直方圖均衡化，相關源代碼可以參考(不使用api)使用C++實現彩色圖像直方圖均衡化的三種方法。
如果要直接使用opencv的api，直接一個函數搞定，用法如下：

void equalizeHist(InputArray src,OutputArray dst)

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在實際均衡化過程中，核心步驟如下：
說明：$x_i$是灰度值，取值[0~255]，$i$也取值為[0~255]，$x$是一個像素(原始的)，$f(x)$是直方圖均衡化之后的值。

• 1.計算灰度圖的直方圖；
• 2.遍歷灰度直方圖，對灰度值從 0~255 累計求和(圖像計算中，積分可以用求和來近似替代)，對求和結果除以圖像的像素總數，然后乘以 $L?1$得到函數結果 得到函數結果 $f(x_i)$。
  $$f(x_i)=(L?1)\sum _0^{x_i}\frac{h(x_i)}{w?h}$$
  如果寫成迭代的式子，就是下面這樣：
  $$\begin{array}{rl}f(x_i)& =f(x_{i?1})+(L?1)\frac{h(x_i)}{w?h}\\ & =(L?1)\sum _0^{x_{i?1}}\frac{h(x_{i?1})}{w?h}+(L?1)\frac{h(x_i)}{w?h}\end{array}$$
  不過這種方式會產生小數，然后又取整，每次像素值都取整，有精度損失，雖然影響不大，但是更好的方式是對該像素和該像素之前的像素數量求和，$count+=h(x_i)$,
  $$f(x_i)=(L?1)\frac{count}{w?h}$$
  這個公式就是，當$x_i=80$ 時，灰度值為80的像素在直方圖均衡化之后的灰度值為$f(x_i)$。
• 3.將每一個灰度值累積求和的結果$f(x_i)$存儲在一個大小為 256 的int數組中，存儲的位置為 $i$;
• 4.遍歷輸入圖像每一個像素，記點值為$x$，修改其像素值使等于$f(x)$。
• 5.均衡化結束。

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例子：

假設一幅圖中的像素范圍是 [10~160],有100個像素取值(因為有些像素值可能并沒有，例如，一張圖中像素值為75的像素一個都沒有)，直方圖均衡化的做法就是：
其實累計求和就是下面這樣,假設灰度圖片總共有total=2550個像素：

origin_pixel_value01…10111213…160…255

num	0	0	0	250	500	10	800	…	100	0	0
calculate： $v_{next}=v_{pre}+255?\frac{num}{total}$ 例：$v_{10}=v_9+255?\frac{250}{2550}$, $v_{255}=v_{254}+255?\frac{0}{2550}$	$v_0=0$	$v_1=v_0+0$	0	$v_{10}=v_9+255?\frac{250}{2550}$	v11	v12	v13		v160		v255
final_pixel_value	0	0	0	25	75	76	156		255	255	255

由上表可知，本來像素范圍在[10~160]，直方圖均衡化之后，像素范圍變為了[25~255]，動態范圍大大增加;

• 原來的低亮度像素值為10的變為了25，11的變為了75，12的變為了76, 13變為了156，160變成了255。可以看出該像素對應的灰度值在整幅圖中的個數越多，變換后的灰度值就越大。
• 本來像素12和像素13只相差1,直方圖均衡化之后，變為了76和156，對比度顯著變大，之所以會這樣，就是因為像素13比像素12的灰度值個數多，并且多的不是一個量級。
• 但是由于直方圖均衡化是遞增的，對于原來像素11和像素12只相差1,直方圖均衡化之后，變為了75和76，所以即使二者像素個數相差幾百個，對比度也沒有增大。
• 因此灰度值更高時，而像素數量驟減的話，并不會拉升對比度。只對灰度值更高，像素數量陡增時，才會拉升對比度。

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假設該圖像有total=25500個像素，即像素個數擴大了10倍，本例把像素值為160的像素增大到了3000個：

origin_pixel_value01…10111213…160…255

num	0	0	0	250	500	10	800	…	3000	0	0
calculate： $v_{next}=v_{pre}+255?\frac{num}{total}$ 例：$v_{10}=v_9+255?\frac{250}{25500}$, $v_{255}=v_{254}+255?\frac{0}{25500}$	$v_0=0$	$v_1=v_0+0$	0	$v_{10}=v_9+255?\frac{250}{25500}$	v11	v12	v13		v160		v255
calculate_pixel_value	0	0	0	2.5	7.5	7.6	15.6		255	255	255
final_pixel_value	0	0	0	3	8	8	16		255	255	255

由上表可知，本來像素范圍在 [10~160]，直方圖均衡化之后，像素范圍變為了 [3~255]，動態范圍大大增加;

原來的低亮度像素值為10的變為了3，11的變為了85，12的變為了8, 13變為了16,160變成了255。可以看出該像素對應的灰度值在整幅圖中的個數越多，變換后的灰度值就越大。

圖像中像素灰度值數量最多的變亮了，那么整幅圖看起來就更亮，對比度更高，更清晰了。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【opencv】20.直方图均衡化的数学原理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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