Java数据结构和算法（十）——二叉树
接下來我們將會介紹另外一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——樹。二叉樹是樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的一員，后面我們還會介紹紅黑樹，2-3-4樹等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。那么為什么要使用樹？它有什么優(yōu)點(diǎn)？
前面我們介紹數(shù)組的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，我們知道對于有序數(shù)組，查找很快，并介紹可以通過二分法查找，但是想要在有序數(shù)組中插入一個數(shù)據(jù)項(xiàng)，就必須先找到插入數(shù)據(jù)項(xiàng)的位置，然后將所有插入位置后面的數(shù)據(jù)項(xiàng)全部向后移動一位，來給新數(shù)據(jù)騰出空間，平均來講要移動N/2次，這是很費(fèi)時的。同理，刪除數(shù)據(jù)也是。
然后我們介紹了另外一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——鏈表，鏈表的插入和刪除很快，我們只需要改變一些引用值就行了，但是查找數(shù)據(jù)卻很慢了，因?yàn)椴还芪覀儾檎沂裁磾?shù)據(jù)，都需要從鏈表的第一個數(shù)據(jù)項(xiàng)開始，遍歷到找到所需數(shù)據(jù)項(xiàng)為止，這個查找也是平均需要比較N/2次。
那么我們就希望一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能同時具備數(shù)組查找快的優(yōu)點(diǎn)以及鏈表插入和刪除快的優(yōu)點(diǎn)，于是 樹 誕生了。
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1、樹
樹（tree）是一種抽象數(shù)據(jù)類型（ADT），用來模擬具有樹狀結(jié)構(gòu)性質(zhì)的數(shù)據(jù)集合。它是由n（n>0）個有限節(jié)點(diǎn)通過連接它們的邊組成一個具有層次關(guān)系的集合。把它叫做“樹”是因?yàn)樗雌饋硐褚豢玫箳斓臉?#xff0c;也就是說它是根朝上，而葉朝下的。
①、節(jié)點(diǎn)：上圖的圓圈，比如A,B,C等都是表示節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)一般代表一些實(shí)體，在java面向?qū)ο缶幊讨?#xff0c;節(jié)點(diǎn)一般代表對象。
②、邊：連接節(jié)點(diǎn)的線稱為邊，邊表示節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。一般從一個節(jié)點(diǎn)到另一個節(jié)點(diǎn)的唯一方法就是沿著一條順著有邊的道路前進(jìn)。在Java當(dāng)中通常表示引用。
樹有很多種，向上面的一個節(jié)點(diǎn)有多余兩個的子節(jié)點(diǎn)的樹，稱為多路樹，后面會講解2-3-4樹和外部存儲都是多路樹的例子。而每個節(jié)點(diǎn)最多只能有兩個子節(jié)點(diǎn)的一種形式稱為二叉樹，這也是本篇博客講解的重點(diǎn)。
樹的常用術(shù)語
①、路徑：順著節(jié)點(diǎn)的邊從一個節(jié)點(diǎn)走到另一個節(jié)點(diǎn)，所經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)的順序排列就稱為“路徑”。
②、根：樹頂端的節(jié)點(diǎn)稱為根。一棵樹只有一個根，如果要把一個節(jié)點(diǎn)和邊的集合稱為樹，那么從根到其他任何一個節(jié)點(diǎn)都必須有且只有一條路徑。A是根節(jié)點(diǎn)。
③、父節(jié)點(diǎn)：若一個節(jié)點(diǎn)含有子節(jié)點(diǎn)，則這個節(jié)點(diǎn)稱為其子節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)；B是D的父節(jié)點(diǎn)。
④、子節(jié)點(diǎn)：一個節(jié)點(diǎn)含有的子樹的根節(jié)點(diǎn)稱為該節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)；D是B的子節(jié)點(diǎn)。
⑤、兄弟節(jié)點(diǎn)：具有相同父節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)互稱為兄弟節(jié)點(diǎn)；比如上圖的D和E就互稱為兄弟節(jié)點(diǎn)。
⑥、葉節(jié)點(diǎn)：沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為葉節(jié)點(diǎn)，也叫葉子節(jié)點(diǎn)，比如上圖的H、E、F、G都是葉子節(jié)點(diǎn)。
⑦、子樹：每個節(jié)點(diǎn)都可以作為子樹的根，它和它所有的子節(jié)點(diǎn)、子節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)等都包含在子樹中。
⑧、節(jié)點(diǎn)的層次：從根開始定義，根為第一層，根的子節(jié)點(diǎn)為第二層，以此類推。
⑨、深度：對于任意節(jié)點(diǎn)n,n的深度為從根到n的唯一路徑長，根的深度為0；
⑩、高度：對于任意節(jié)點(diǎn)n,n的高度為從n到一片樹葉的最長路徑長，所有樹葉的高度為0；
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2、二叉樹
二叉樹：樹的每個節(jié)點(diǎn)最多只能有兩個子節(jié)點(diǎn)
上圖的第一幅圖B節(jié)點(diǎn)有DEF三個子節(jié)點(diǎn)，就不是二叉樹，稱為多路樹；而第二幅圖每個節(jié)點(diǎn)最多只有兩個節(jié)點(diǎn)，是二叉樹，并且二叉樹的子節(jié)點(diǎn)稱為“左子節(jié)點(diǎn)”和“右子節(jié)點(diǎn)”。上圖的D,E分別是B的左子節(jié)點(diǎn)和右子節(jié)點(diǎn)。
如果我們給二叉樹加一個額外的條件，就可以得到一種被稱作二叉搜索樹(binary search tree)的特殊二叉樹。
二叉搜索樹要求：若它的左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于它的根結(jié)點(diǎn)的值； 若它的右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于它的根結(jié)點(diǎn)的值； 它的左、右子樹也分別為二叉排序樹。
?
二叉搜索樹作為一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，那么它是如何工作的呢？它查找一個節(jié)點(diǎn)，插入一個新節(jié)點(diǎn)，以及刪除一個節(jié)點(diǎn)，遍歷樹等工作效率如何，下面我們來一一介紹。
二叉樹的節(jié)點(diǎn)類：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | package?com.ys.tree; ? public?class?Node { ????private?Object data;????//節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) ????private?Node leftChild;?//左子節(jié)點(diǎn)的引用 ????private?Node rightChild;?//右子節(jié)點(diǎn)的引用 ????//打印節(jié)點(diǎn)內(nèi)容 ????public?void?display(){ ????????System.out.println(data); ????} ? } |
二叉樹的具體方法：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | package?com.ys.tree; ? public?interface?Tree { ????//查找節(jié)點(diǎn) ????public?Node find(Object key); ????//插入新節(jié)點(diǎn) ????public?boolean?insert(Object key); ????//刪除節(jié)點(diǎn) ????public?boolean?delete(Object key); ????//Other Method...... } |
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3、查找節(jié)點(diǎn)
查找某個節(jié)點(diǎn)，我們必須從根節(jié)點(diǎn)開始遍歷。
①、查找值比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值大，則搜索右子樹；
②、查找值等于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值，停止搜索（終止條件）；
③、查找值小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值，則搜索左子樹；
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | //查找節(jié)點(diǎn) public?Node find(int?key) { ????Node current = root; ????while(current !=?null){ ????????if(current.data > key){//當(dāng)前值比查找值大，搜索左子樹 ????????????current = current.leftChild; ????????}else?if(current.data < key){//當(dāng)前值比查找值小，搜索右子樹 ????????????current = current.rightChild; ????????}else{ ????????????return?current; ????????} ????} ????return?null;//遍歷完整個樹沒找到，返回null } |
用變量current來保存當(dāng)前查找的節(jié)點(diǎn)，參數(shù)key是要查找的值，剛開始查找將根節(jié)點(diǎn)賦值到current。接在在while循環(huán)中，將要查找的值和current保存的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行對比。如果key小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，則搜索當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)，如果大于，則搜索右子節(jié)點(diǎn)，如果等于，則直接返回節(jié)點(diǎn)信息。當(dāng)整個樹遍歷完全，即current == null，那么說明沒找到查找值，返回null。
樹的效率：查找節(jié)點(diǎn)的時間取決于這個節(jié)點(diǎn)所在的層數(shù)，每一層最多有2n-1個節(jié)點(diǎn)，總共N層共有2n-1個節(jié)點(diǎn)，那么時間復(fù)雜度為O(logN),底數(shù)為2。
我看評論有對這里的時間復(fù)雜度不理解，這里解釋一下，O(logN)，N表示的是二叉樹節(jié)點(diǎn)的總數(shù)，而不是層數(shù)。
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4、插入節(jié)點(diǎn)
要插入節(jié)點(diǎn)，必須先找到插入的位置。與查找操作相似，由于二叉搜索樹的特殊性，待插入的節(jié)點(diǎn)也需要從根節(jié)點(diǎn)開始進(jìn)行比較，小于根節(jié)點(diǎn)則與根節(jié)點(diǎn)左子樹比較，反之則與右子樹比較，直到左子樹為空或右子樹為空，則插入到相應(yīng)為空的位置，在比較的過程中要注意保存父節(jié)點(diǎn)的信息 及 待插入的位置是父節(jié)點(diǎn)的左子樹還是右子樹，才能插入到正確的位置。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 | //插入節(jié)點(diǎn) public?boolean?insert(int?data) { ????Node newNode =?new?Node(data); ????if(root ==?null){//當(dāng)前樹為空樹，沒有任何節(jié)點(diǎn) ????????root = newNode; ????????return?true; ????}else{ ????????Node current = root; ????????Node parentNode =?null; ????????while(current !=?null){ ????????????parentNode = current; ????????????if(current.data > data){//當(dāng)前值比插入值大，搜索左子節(jié)點(diǎn) ????????????????current = current.leftChild; ????????????????if(current ==?null){//左子節(jié)點(diǎn)為空，直接將新值插入到該節(jié)點(diǎn) ????????????????????parentNode.leftChild = newNode; ????????????????????return?true; ????????????????} ????????????}else{ ????????????????current = current.rightChild; ????????????????if(current ==?null){//右子節(jié)點(diǎn)為空，直接將新值插入到該節(jié)點(diǎn) ????????????????????parentNode.rightChild = newNode; ????????????????????return?true; ????????????????} ????????????} ????????} ????} ????return?false; } |
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5、遍歷樹
遍歷樹是根據(jù)一種特定的順序訪問樹的每一個節(jié)點(diǎn)。比較常用的有前序遍歷，中序遍歷和后序遍歷。而二叉搜索樹最常用的是中序遍歷。
①、中序遍歷:左子樹——》根節(jié)點(diǎn)——》右子樹
②、前序遍歷:根節(jié)點(diǎn)——》左子樹——》右子樹
③、后序遍歷:左子樹——》右子樹——》根節(jié)點(diǎn)
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 | //中序遍歷 public?void?infixOrder(Node current){ ????if(current !=?null){ ????????infixOrder(current.leftChild); ????????System.out.print(current.data+" "); ????????infixOrder(current.rightChild); ????} } ? //前序遍歷 public?void?preOrder(Node current){ ????if(current !=?null){ ????????System.out.print(current.data+" "); ????????preOrder(current.leftChild); ????????preOrder(current.rightChild); ????} } ? //后序遍歷 public?void?postOrder(Node current){ ????if(current !=?null){ ????????postOrder(current.leftChild); ????????postOrder(current.rightChild); ????????System.out.print(current.data+" "); ????} } |
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6、查找最大值和最小值
這沒什么好說的，要找最小值，先找根的左節(jié)點(diǎn)，然后一直找這個左節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)，直到找到?jīng)]有左節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，那么這個節(jié)點(diǎn)就是最小值。同理要找最大值，一直找根節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)，直到?jīng)]有右節(jié)點(diǎn)，則就是最大值。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | //找到最大值 public?Node findMax(){ ????Node current = root; ????Node maxNode = current; ????while(current !=?null){ ????????maxNode = current; ????????current = current.rightChild; ????} ????return?maxNode; } //找到最小值 public?Node findMin(){ ????Node current = root; ????Node minNode = current; ????while(current !=?null){ ????????minNode = current; ????????current = current.leftChild; ????} ????return?minNode; } |
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7、刪除節(jié)點(diǎn)
刪除節(jié)點(diǎn)是二叉搜索樹中最復(fù)雜的操作，刪除的節(jié)點(diǎn)有三種情況，前兩種比較簡單，但是第三種卻很復(fù)雜。
1、該節(jié)點(diǎn)是葉節(jié)點(diǎn)（沒有子節(jié)點(diǎn)）
2、該節(jié)點(diǎn)有一個子節(jié)點(diǎn)
3、該節(jié)點(diǎn)有兩個子節(jié)點(diǎn)
下面我們分別對這三種情況進(jìn)行講解。
①、刪除沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)
要刪除葉節(jié)點(diǎn)，只需要改變該節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)引用該節(jié)點(diǎn)的值，即將其引用改為 null 即可。要刪除的節(jié)點(diǎn)依然存在，但是它已經(jīng)不是樹的一部分了，由于Java語言的垃圾回收機(jī)制，我們不需要非得把節(jié)點(diǎn)本身刪掉，一旦Java意識到程序不在與該節(jié)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)，就會自動把它清理出存儲器。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 | @Override public?boolean?delete(int?key) { ????Node current = root; ????Node parent = root; ????boolean?isLeftChild =?false; ????//查找刪除值，找不到直接返回false ????while(current.data != key){ ????????parent = current; ????????if(current.data > key){ ????????????isLeftChild =?true; ????????????current = current.leftChild; ????????}else{ ????????????isLeftChild =?false; ????????????current = current.rightChild; ????????} ????????if(current ==?null){ ????????????return?false; ????????} ????} ????//如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)沒有子節(jié)點(diǎn) ????if(current.leftChild ==?null?&& current.rightChild ==?null){ ????????if(current == root){ ????????????root =?null; ????????}else?if(isLeftChild){ ????????????parent.leftChild =?null; ????????}else{ ????????????parent.rightChild =?null; ????????} ????????return?true; ????} ????return?false; } |
刪除節(jié)點(diǎn)，我們要先找到該節(jié)點(diǎn)，并記錄該節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)。在檢查該節(jié)點(diǎn)是否有子節(jié)點(diǎn)。如果沒有子節(jié)點(diǎn)，接著檢查其是否是根節(jié)點(diǎn)，如果是根節(jié)點(diǎn)，只需要將其設(shè)置為null即可。如果不是根節(jié)點(diǎn)，是葉節(jié)點(diǎn)，那么斷開父節(jié)點(diǎn)和其的關(guān)系即可。
②、刪除有一個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)
刪除有一個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，我們只需要將其父節(jié)點(diǎn)原本指向該節(jié)點(diǎn)的引用，改為指向該節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)即可。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 | //當(dāng)前節(jié)點(diǎn)有一個子節(jié)點(diǎn) if(current.leftChild ==?null?&& current.rightChild !=?null){ ????if(current == root){ ????????root = current.rightChild; ????}else?if(isLeftChild){ ????????parent.leftChild = current.rightChild; ????}else{ ????????parent.rightChild = current.rightChild; ????} ????return?true; }else{ ????//current.leftChild != null && current.rightChild == null ????if(current == root){ ????????root = current.leftChild; ????}else?if(isLeftChild){ ????????parent.leftChild = current.leftChild; ????}else{ ????????parent.rightChild = current.leftChild; ????} ????return?true; } |
③、刪除有兩個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)
?
當(dāng)刪除的節(jié)點(diǎn)存在兩個子節(jié)點(diǎn)，那么刪除之后，兩個子節(jié)點(diǎn)的位置我們就沒辦法處理了。既然處理不了，我們就想到一種辦法，用另一個節(jié)點(diǎn)來代替被刪除的節(jié)點(diǎn)，那么用哪一個節(jié)點(diǎn)來代替呢？
我們知道二叉搜索樹中的節(jié)點(diǎn)是按照關(guān)鍵字來進(jìn)行排列的，某個節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字次高節(jié)點(diǎn)是它的中序遍歷后繼節(jié)點(diǎn)。用后繼節(jié)點(diǎn)來代替刪除的節(jié)點(diǎn)，顯然該二叉搜索樹還是有序的。（這里用后繼節(jié)點(diǎn)代替，如果該后繼節(jié)點(diǎn)自己也有子節(jié)點(diǎn)，我們后面討論。）
那么如何找到刪除節(jié)點(diǎn)的中序后繼節(jié)點(diǎn)呢？其實(shí)我們稍微分析，這實(shí)際上就是要找比刪除節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵值大的節(jié)點(diǎn)集合中最小的一個節(jié)點(diǎn)，只有這樣代替刪除節(jié)點(diǎn)后才能滿足二叉搜索樹的特性。
后繼節(jié)點(diǎn)也就是：比刪除節(jié)點(diǎn)大的最小節(jié)點(diǎn)。
算法：程序找到刪除節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)，(注意這里前提是刪除節(jié)點(diǎn)存在左右兩個子節(jié)點(diǎn)，如果不存在則是刪除情況的前面兩種)，然后轉(zhuǎn)到該右節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)，依次順著左子節(jié)點(diǎn)找下去，最后一個左子節(jié)點(diǎn)即是后繼節(jié)點(diǎn)；如果該右節(jié)點(diǎn)沒有左子節(jié)點(diǎn)，那么該右節(jié)點(diǎn)便是后繼節(jié)點(diǎn)。
需要確定后繼節(jié)點(diǎn)沒有子節(jié)點(diǎn)，如果后繼節(jié)點(diǎn)存在子節(jié)點(diǎn)，那么又要分情況討論了。
①、后繼節(jié)點(diǎn)是刪除節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)
這種情況簡單，只需要將后繼節(jié)點(diǎn)表示的子樹移到被刪除節(jié)點(diǎn)的位置即可！
②、后繼節(jié)點(diǎn)是刪除節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | public?Node getSuccessor(Node delNode){ ????Node successorParent = delNode; ????Node successor = delNode; ????Node current = delNode.rightChild; ????while(current !=?null){ ????????successorParent = successor; ????????successor = current; ????????current = current.leftChild; ????} ????//將后繼節(jié)點(diǎn)替換刪除節(jié)點(diǎn) ????if(successor != delNode.rightChild){ ????????successorParent.leftChild = successor.rightChild; ????????successor.rightChild = delNode.rightChild; ????} ????? ????return?successor; } |
④、刪除有必要嗎？
? 通過上面的刪除分類討論，我們發(fā)現(xiàn)刪除其實(shí)是挺復(fù)雜的，那么其實(shí)我們可以不用真正的刪除該節(jié)點(diǎn)，只需要在Node類中增加一個標(biāo)識字段isDelete，當(dāng)該字段為true時，表示該節(jié)點(diǎn)已經(jīng)刪除，反正沒有刪除。那么我們在做比如find()等操作的時候，要先判斷isDelete字段是否為true。這樣刪除的節(jié)點(diǎn)并不會改變樹的結(jié)構(gòu)。
| 1 2 3 4 5 6 | public?class?Node { ????int?data;???//節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) ????Node leftChild;?//左子節(jié)點(diǎn)的引用 ????Node rightChild;?//右子節(jié)點(diǎn)的引用 ????boolean?isDelete;//表示節(jié)點(diǎn)是否被刪除 } |
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8、二叉樹的效率
從前面的大部分對樹的操作來看，都需要從根節(jié)點(diǎn)到下一層一層的查找。
一顆滿樹，每層節(jié)點(diǎn)數(shù)大概為2n-1，那么最底層的節(jié)點(diǎn)個數(shù)比樹的其它節(jié)點(diǎn)數(shù)多1，因此，查找、插入或刪除節(jié)點(diǎn)的操作大約有一半都需要找到底層的節(jié)點(diǎn)，另外四分之一的節(jié)點(diǎn)在倒數(shù)第二層，依次類推。
總共N層共有2n-1個節(jié)點(diǎn)，那么時間復(fù)雜度為O(logn),底數(shù)為2。
在有1000000 個數(shù)據(jù)項(xiàng)的無序數(shù)組和鏈表中，查找數(shù)據(jù)項(xiàng)平均會比較500000 次，但是在有1000000個節(jié)點(diǎn)的二叉樹中，只需要20次或更少的比較即可。
有序數(shù)組可以很快的找到數(shù)據(jù)項(xiàng)，但是插入數(shù)據(jù)項(xiàng)的平均需要移動 500000 次數(shù)據(jù)項(xiàng)，在 1000000 個節(jié)點(diǎn)的二叉樹中插入數(shù)據(jù)項(xiàng)需要20次或更少比較，在加上很短的時間來連接數(shù)據(jù)項(xiàng)。
同樣，從 1000000 個數(shù)據(jù)項(xiàng)的數(shù)組中刪除一個數(shù)據(jù)項(xiàng)平均需要移動 500000 個數(shù)據(jù)項(xiàng)，而在 1000000 個節(jié)點(diǎn)的二叉樹中刪除節(jié)點(diǎn)只需要20次或更少的次數(shù)來找到他，然后在花一點(diǎn)時間來找到它的后繼節(jié)點(diǎn)，一點(diǎn)時間來斷開節(jié)點(diǎn)以及連接后繼節(jié)點(diǎn)。
所以，樹對所有常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的操作都有很高的效率。
遍歷可能不如其他操作快，但是在大型數(shù)據(jù)庫中，遍歷是很少使用的操作，它更常用于程序中的輔助算法來解析算術(shù)或其它表達(dá)式。
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9、用數(shù)組表示樹
? 用數(shù)組表示樹，那么節(jié)點(diǎn)是存在數(shù)組中的，節(jié)點(diǎn)在數(shù)組中的位置對應(yīng)于它在樹中的位置。下標(biāo)為 0 的節(jié)點(diǎn)是根，下標(biāo)為 1 的節(jié)點(diǎn)是根的左子節(jié)點(diǎn)，以此類推，按照從左到右的順序存儲樹的每一層。
樹中的每個位置，無論是否存在節(jié)點(diǎn)，都對應(yīng)于數(shù)組中的一個位置，樹中沒有節(jié)點(diǎn)的在數(shù)組中用0或者null表示。
假設(shè)節(jié)點(diǎn)的索引值為index，那么節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)是 2*index+1，節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)是 2*index+2，它的父節(jié)點(diǎn)是 （index-1）/2。
在大多數(shù)情況下，使用數(shù)組表示樹效率是很低的，不滿的節(jié)點(diǎn)和刪除掉的節(jié)點(diǎn)都會在數(shù)組中留下洞，浪費(fèi)存儲空間。更壞的是，刪除節(jié)點(diǎn)如果要移動子樹的話，子樹中的每個節(jié)點(diǎn)都要移到數(shù)組中新的位置，這是很費(fèi)時的。
不過如果不允許刪除操作，數(shù)組表示可能會很有用，尤其是因?yàn)槟撤N原因要動態(tài)的為每個字節(jié)分配空間非常耗時。
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10、完整的BinaryTree代碼
Node.java
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | package?com.ys.tree; ? public?class?Node { ????int?data;???//節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) ????Node leftChild;?//左子節(jié)點(diǎn)的引用 ????Node rightChild;?//右子節(jié)點(diǎn)的引用 ????boolean?isDelete;//表示節(jié)點(diǎn)是否被刪除 ????? ????public?Node(int?data){ ????????this.data = data; ????} ????//打印節(jié)點(diǎn)內(nèi)容 ????public?void?display(){ ????????System.out.println(data); ????} ? } |
Tree.java
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | package?com.ys.tree; ? public?interface?Tree { ????//查找節(jié)點(diǎn) ????public?Node find(int?key); ????//插入新節(jié)點(diǎn) ????public?boolean?insert(int?data); ????? ????//中序遍歷 ????public?void?infixOrder(Node current); ????//前序遍歷 ????public?void?preOrder(Node current); ????//后序遍歷 ????public?void?postOrder(Node current); ????? ????//查找最大值 ????public?Node findMax(); ????//查找最小值 ????public?Node findMin(); ????? ????//刪除節(jié)點(diǎn) ????public?boolean?delete(int?key); ????? ????//Other Method...... } |
BinaryTree.java
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 | package?com.ys.tree; ? public?class?BinaryTree?implements?Tree { ????//表示根節(jié)點(diǎn) ????private?Node root; ? ????//查找節(jié)點(diǎn) ????public?Node find(int?key) { ????????Node current = root; ????????while(current !=?null){ ????????????if(current.data > key){//當(dāng)前值比查找值大，搜索左子樹 ????????????????current = current.leftChild; ????????????}else?if(current.data < key){//當(dāng)前值比查找值小，搜索右子樹 ????????????????current = current.rightChild; ????????????}else{ ????????????????return?current; ????????????} ????????} ????????return?null;//遍歷完整個樹沒找到，返回null ????} ? ????//插入節(jié)點(diǎn) ????public?boolean?insert(int?data) { ????????Node newNode =?new?Node(data); ????????if(root ==?null){//當(dāng)前樹為空樹，沒有任何節(jié)點(diǎn) ????????????root = newNode; ????????????return?true; ????????}else{ ????????????Node current = root; ????????????Node parentNode =?null; ????????????while(current !=?null){ ????????????????parentNode = current; ????????????????if(current.data > data){//當(dāng)前值比插入值大，搜索左子節(jié)點(diǎn) ????????????????????current = current.leftChild; ????????????????????if(current ==?null){//左子節(jié)點(diǎn)為空，直接將新值插入到該節(jié)點(diǎn) ????????????????????????parentNode.leftChild = newNode; ????????????????????????return?true; ????????????????????} ????????????????}else{ ????????????????????current = current.rightChild; ????????????????????if(current ==?null){//右子節(jié)點(diǎn)為空，直接將新值插入到該節(jié)點(diǎn) ????????????????????????parentNode.rightChild = newNode; ????????????????????????return?true; ????????????????????} ????????????????} ????????????} ????????} ????????return?false; ????} ????? ????//中序遍歷 ????public?void?infixOrder(Node current){ ????????if(current !=?null){ ????????????infixOrder(current.leftChild); ????????????System.out.print(current.data+" "); ????????????infixOrder(current.rightChild); ????????} ????} ????? ????//前序遍歷 ????public?void?preOrder(Node current){ ????????if(current !=?null){ ????????????System.out.print(current.data+" "); ????????????infixOrder(current.leftChild); ????????????infixOrder(current.rightChild); ????????} ????} ????? ????//后序遍歷 ????public?void?postOrder(Node current){ ????????if(current !=?null){ ????????????infixOrder(current.leftChild); ????????????infixOrder(current.rightChild); ????????????System.out.print(current.data+" "); ????????} ????} ????//找到最大值 ????public?Node findMax(){ ????????Node current = root; ????????Node maxNode = current; ????????while(current !=?null){ ????????????maxNode = current; ????????????current = current.rightChild; ????????} ????????return?maxNode; ????} ????//找到最小值 ????public?Node findMin(){ ????????Node current = root; ????????Node minNode = current; ????????while(current !=?null){ ????????????minNode = current; ????????????current = current.leftChild; ????????} ????????return?minNode; ????} ????? ????@Override ????public?boolean?delete(int?key) { ????????Node current = root; ????????Node parent = root; ????????boolean?isLeftChild =?false; ????????//查找刪除值，找不到直接返回false ????????while(current.data != key){ ????????????parent = current; ????????????if(current.data > key){ ????????????????isLeftChild =?true; ????????????????current = current.leftChild; ????????????}else{ ????????????????isLeftChild =?false; ????????????????current = current.rightChild; ????????????} ????????????if(current ==?null){ ????????????????return?false; ????????????} ????????} ????????//如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)沒有子節(jié)點(diǎn) ????????if(current.leftChild ==?null?&& current.rightChild ==?null){ ????????????if(current == root){ ????????????????root =?null; ????????????}else?if(isLeftChild){ ????????????????parent.leftChild =?null; ????????????}else{ ????????????????parent.rightChild =?null; ????????????} ????????????return?true; ????????????? ????????????//當(dāng)前節(jié)點(diǎn)有一個子節(jié)點(diǎn)，右子節(jié)點(diǎn) ????????}else?if(current.leftChild ==?null?&& current.rightChild !=?null){ ????????????if(current == root){ ????????????????root = current.rightChild; ????????????}else?if(isLeftChild){ ????????????????parent.leftChild = current.rightChild; ????????????}else{ ????????????????parent.rightChild = current.rightChild; ????????????} ????????????return?true; ????????????//當(dāng)前節(jié)點(diǎn)有一個子節(jié)點(diǎn)，左子節(jié)點(diǎn) ????????}else?if(current.leftChild !=?null?&& current.rightChild ==?null){ ????????????if(current == root){ ????????????????root = current.leftChild; ????????????}else?if(isLeftChild){ ????????????????parent.leftChild = current.leftChild; ????????????}else{ ????????????????parent.rightChild = current.leftChild; ????????????} ????????????return?true; ????????}else{ ????????????//當(dāng)前節(jié)點(diǎn)存在兩個子節(jié)點(diǎn) ????????????Node successor = getSuccessor(current); ????????????if(current == root){ ????????????????root= successor; ????????????}else?if(isLeftChild){ ????????????????parent.leftChild = successor; ????????????}else{ ????????????????parent.rightChild = successor; ????????????} ????????????successor.leftChild = current.leftChild; ????????} ????????return?false; ????????? ????} ? ????public?Node getSuccessor(Node delNode){ ????????Node successorParent = delNode; ????????Node successor = delNode; ????????Node current = delNode.rightChild; ????????while(current !=?null){ ????????????successorParent = successor; ????????????successor = current; ????????????current = current.leftChild; ????????} ????????//后繼節(jié)點(diǎn)不是刪除節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)，將后繼節(jié)點(diǎn)替換刪除節(jié)點(diǎn) ????????if(successor != delNode.rightChild){ ????????????successorParent.leftChild = successor.rightChild; ????????????successor.rightChild = delNode.rightChild; ????????} ????????? ????????return?successor; ????} ????? ????public?static?void?main(String[] args) { ????????BinaryTree bt =?new?BinaryTree(); ????????bt.insert(50); ????????bt.insert(20); ????????bt.insert(80); ????????bt.insert(10); ????????bt.insert(30); ????????bt.insert(60); ????????bt.insert(90); ????????bt.insert(25); ????????bt.insert(85); ????????bt.insert(100); ????????bt.delete(10);//刪除沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn) ????????bt.delete(30);//刪除有一個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn) ????????bt.delete(80);//刪除有兩個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn) ????????System.out.println(bt.findMax().data); ????????System.out.println(bt.findMin().data); ????????System.out.println(bt.find(100)); ????????System.out.println(bt.find(200)); ????????? ????} ? } |
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11、哈夫曼(Huffman)編碼
我們知道計算機(jī)里每個字符在沒有壓縮的文本文件中由一個字節(jié)（比如ASCII碼）或兩個字節(jié)（比如Unicode,這個編碼在各種語言中通用）表示，在這些方案中，每個字符需要相同的位數(shù)。
有很多壓縮數(shù)據(jù)的方法，就是減少表示最常用字符的位數(shù)量，比如英語中，E是最常用的字母，我們可以只用兩位01來表示，2位有四種組合：00、01、10、11，那么我們可以用這四種組合表示四種常用的字符嗎？
答案是不可以的，因?yàn)樵诰幋a序列中是沒有空格或其他特殊字符存在的，全都是有0和1構(gòu)成的序列，比如E用01來表示，X用01011000表示，那么在解碼的時候就弄不清楚01是表示E還是表示X的起始部分，所以在編碼的時候就定下了一個規(guī)則：每個代碼都不能是其它代碼的前綴。
①、哈夫曼編碼
二叉樹中有一種特別的樹——哈夫曼樹（最優(yōu)二叉樹），其通過某種規(guī)則（權(quán)值）來構(gòu)造出一哈夫曼二叉樹，在這個二叉樹中，只有葉子節(jié)點(diǎn)才是有效的數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)（很重要），其他的非葉子節(jié)點(diǎn)是為了構(gòu)造出哈夫曼而引入的！
哈夫曼編碼是一個通過哈夫曼樹進(jìn)行的一種編碼，一般情況下，以字符：‘0’與‘1’表示。編碼的實(shí)現(xiàn)過程很簡單，只要實(shí)現(xiàn)哈夫曼樹，通過遍歷哈夫曼樹，規(guī)定向左子樹遍歷一個節(jié)點(diǎn)編碼為“0”，向右遍歷一個節(jié)點(diǎn)編碼為“1”，結(jié)束條件就是遍歷到葉子節(jié)點(diǎn)！因?yàn)樯厦嬲f過：哈夫曼樹葉子節(jié)點(diǎn)才是有效數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)！
我們用01表示S，用00表示空格后，就不能用01和11表示某個字符了，因?yàn)樗鼈兪瞧渌址那熬Y。在看三位的組合，分別有000,001,010,100,101,110和111，A是010，I是110，為什么沒有其它三位的組合了呢？因?yàn)橐阎遣荒苡?1和11開始的組合了，那么就減少了四種選擇，同時011用于U和換行符的開始，111用于E和Y的開始，這樣就只剩下2個三位的組合了，同理可以理解為什么只有三個四位的代碼可用。
所以對于消息：SUSIE SAYS IT IS EASY
哈夫曼編碼為：100111110110111100100101110100011001100011010001111010101110
②、哈夫曼解碼
如果收到上面的一串哈夫曼編碼，怎么解碼呢？消息中出現(xiàn)的字符在哈夫曼樹中是葉節(jié)點(diǎn)，也就是沒有子節(jié)點(diǎn)，如下圖：它們在消息中出現(xiàn)的頻率越高，在樹中的位置就越高，每個圓圈外面的數(shù)字就是頻率，非葉節(jié)點(diǎn)外面的數(shù)字是它子節(jié)點(diǎn)數(shù)字的和。
每個字符都從根開始，如果遇到0，就向左走到下一個節(jié)點(diǎn)，如果遇到1，就向右。比如字符A是010，那么先向左，再向右，再向左，就找到了A，其它的依次類推。
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12、總結(jié)
樹是由邊和節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，根節(jié)點(diǎn)是樹最頂端的節(jié)點(diǎn)，它沒有父節(jié)點(diǎn)；二叉樹中，最多有兩個子節(jié)點(diǎn)；某個節(jié)點(diǎn)的左子樹每個節(jié)點(diǎn)都比該節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字值小，右子樹的每個節(jié)點(diǎn)都比該節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字值大，那么這種樹稱為二叉搜索樹，其查找、插入、刪除的時間復(fù)雜度都為logN；可以通過前序遍歷、中序遍歷、后序遍歷來遍歷樹，前序是根節(jié)點(diǎn)-左子樹-右子樹，中序是左子樹-根節(jié)點(diǎn)-右子樹，后序是左子樹-右子樹-根節(jié)點(diǎn)；刪除一個節(jié)點(diǎn)只需要斷開指向它的引用即可；哈夫曼樹是二叉樹，用于數(shù)據(jù)壓縮算法，最經(jīng)常出現(xiàn)的字符編碼位數(shù)最少，很少出現(xiàn)的字符編碼位數(shù)多一些。
作者：YSOcean
出處：http://www.cnblogs.com/ysocean/
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的Java数据结构和算法（十）——二叉树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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